高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案含解析新人教A版选修13

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2．1.2 演绎推理

演绎推理 [提出问题] 看下面两个问题：

(1)一切奇数都不能被2整除，(2

2 012

＋1)是奇数，所以(2

2 012

＋1)不能被2整除；

(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．

问题1：这两个问题中的第一句都说的是什么？ 提示：都说的是一般原理． 问题2：第二句又说的是什么？ 提示：都说的是特殊示例． 问题3：第三句呢？

提示：由一般原理对特殊示例作出判断． [导入新知] 1．演绎推理的概念

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理． 2．三段论

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． “三段论”可以表示为： 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结论：S是P. [化解疑难]

演绎推理的三个特点

(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特

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殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．

(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．

(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．

把演绎推理写成三段论的形式 [例1] 将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数． (2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°. (3)菱形对角线互相平分．

(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列． [解] (1)一切奇数都不能被2整除，(大前提) 75不能被2整除，(小前提) 75是奇数．(结论)

(2)三角形的内角和为180°，(大前提) Rt△ABC是三角形，(小前提) Rt△ABC的内角和为180°.(结论) (3)平行四边形对角线互相平分，(大前提) 菱形是平行四边形，(小前提) 菱形对角线互相平分．(结论)

(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提) 通项公式an＝3n＋2，n≥2时，

an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)，(小前提)

通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论) [类题通法]

三段论的推理形式

三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b?c，a?b，则a?c”．其中，

b?c为大前提，提供了已知的一般性原理；a?b为小前提，提供了一个特殊情况；a?c为

大前提和小前提联合产生的逻辑结果．

[活学活用]

把下列推断写成三段论的形式：

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(1)y＝sin x(x∈R)是周期函数．

(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．

解：(1)三角函数是周期函数， 大前提

y＝sin x(x∈R)是三角函数， 小前提 y＝sin x(x∈R)是周期函数． 结论

(2)两个角是对顶角，则这两个角相等， 大前提 ∠1和∠2是对顶角， 小前提 ∠1和∠2相等． 结论

三段论在证明几何问题中的应用

[例2] 用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角△ABC中，AD，

BE是高，D，E为垂足，M为AB的中点．求证：ME＝MD.

[证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提) 在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，(小前提) ∴△ABD为直角三角形．(结论) 同理△ABE也为直角三角形．

∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)

M是直角△ABD斜边AB上的中点，DM为中线，(小前提)

1

∴DM＝AB.(结论)

21

同理EM＝AB.

2

∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提)

DM＝AB，EM＝AB，(小前提)

∴ME＝MD.(结论) [类题通法]

三段论在几何问题中的应用

(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．

(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．

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[活学活用]

如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.

证明：三角形的中位线平行于底边， 大前提 点E，F分别是AB，AD的中点， 小前提 所以EF∥BD. 结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线，

则这条直线与此平面平行， 大前提

EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD， 小前提

所以EF∥平面BCD. 结论

演绎推理在代数中的应用 [例3] 已知函数f(x)＝a＋

xx－2(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． x＋1

[证明] 如果在(－1，＋∞)上f′(x)>0，那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，(大前提)

∵a>1，∴f′(x)＝aln a＋

x3

x＋1

2

>0，(小前提)

∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(结论) [类题通法]

使用三段论应注意的问题

(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．

(2)证明中常见的错误： ①条件分析错误(小前提错)． ②定理引入和应用错误(大前提错)． ③推理过程错误等． [活学活用]

已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜

bb＋m.

aa＋m证明：因为不等式两边同乘一个正数，不等号不改变方向，(大前提)

b＜a，m＞0，(小前提)

所以，mb＜ma.(结论)

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