用放缩法证明与数列和有关的不等式

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用放缩法证明与数列和有关的不等式

江苏省江阴长泾中学 严 洁 邮编 214411

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩

例1．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2Sn?an?1，试求： （1）数列?an?的通项公式； （2）设bn?11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn?

2anan?1解：（1）由已知得4Sn?(an?1)2，n?2时，4Sn?1?(an?1?1)2，作差得：

22所以(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又因为?an?为正数数4an?an?2an?an?1?2an?1，

列，所以an?an?1?2，即?an?是公差为2的等差数列，由2S1?a1?1，得a1?1，所以an?2n?1 （2）bn?11111??(?)，所以

anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{an}满足条件an?1?an?f?n?）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和

1．放缩后成等差数列，再求和

2例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an?an?2Sn.

an2?an?12(1) 求证：Sn?；

4(2) 求证：Sn2?S1?S2?????Sn?Sn?1?12 2解：（1）在条件中，令n?1，得a1?a1?2S1?2a1，?a1?0?a1?1 ，又由条件

22an?an?2Sn有an?1?an?1?2Sn?1，上述两式相减，注意到an?1?Sn?1?Sn得

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(an?1?an)(an?1?an?1)?0 ?an?0?an?1?an?0 ∴an?1?an?1

所以， an?1?1?(n?1)?n，Sn?n(n?1) 222n(n?1)1n2?(n?1)2an?an?1所以Sn? ???2224（2）因为n?n(n?1)?n?1，所以

n2?n(n?1)n?1，所以 ?2212?22???n2?n(n?1)22?Sn2

?n2?3n22?Sn?1?12；S1?S2??Sn?2．放缩后成等比数列，再求和

例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：a2n?(?a)n?(a?1)?an；

1（2）等比数列{an}中，a1??，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设

2a1bn?n，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．

31?an解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，a2n?(?a)n?an(an?1)?(a?1)?an． 当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是

2a2n?(?a)n?an(an?1)?(a2?1)?an?(a?1)(a?1)?an?(a?1)?an．

（2）∵A9?A7?a8?a9，A8?A9??a9，a8?a9??a9，∴公比q?a91??． a82∴an?(?)． bn?12n14n11?(?)n2?11． ?nnn4?(?2)3?211(1?2)111122?1(1?1)?1． ∴Bn?b1?b2??bn???????13?23?22333?2n32n1?23．放缩后为差比数列，再求和

例4．已知数列{an}满足：a1?1，an?1?(1?证明：因为an?1?(1?即an?1?an?n)an(n?1,2,3?)．求证： n2n)an，所以an?1与an同号，又因为a1?1?0，所以an?0， 2nnan?0，即an?1?an．所以数列{an}为递增数列，所以an?a1?1， n2不得用于商业用途

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nn12n?1a?a?a?????，累加得：． nn12222n2n2n?112n?1112n?1令Sn??2???n?1，所以Sn?2?3???n，两式相减得：

222222211111n?1n?1n?1Sn??2?3???n?1?n，所以Sn?2?n?1，所以an?3?n?1， 22222222n?1故得an?1?an?3?n?1．

2即an?1?an?4．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列(n?1)n(n?1)?321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1?1，排列321的逆序数

a3?6．

（1）求a4、a5，并写出an的表达式； （2）令bn?ana?n?1，证明2n?b1?b2??bn?2n?3，n=1,2,…. an?1ann(n?1). 2解（1）由已知得a4?10,a5?15，an?n?(n?1)???2?1?（2）因为bn?anann?2nn?2?n?1???2??2,n?1,2,?， an?1ann?2nn?2n所以b1?b2???bn?2n.

nn?222??2??,n?1,2,?， n?2nnn?2111111)] 所以b1?b2???bn?2n?2[(?)?(?)???(?1324nn?222??2n?3. =2n?3?n?1n?2又因为bn? 综上，2n?b1?b2??bn?2n?3,n?1,2,?. 注：常用放缩的结论：（1）

1111111???2???(k?2) kk?1k(k?1)kk(k?1)k?1k2k?k?1?1k?2k?k?1?2(1k?1?1k)(k?2)

（2）．2(1k?1k?1)?在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如

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例２要证明的结论

n2?3n22、

n(n?1)22为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数

11)?为等比数列求和结果的类型，则把通n32n?1项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论3?n?1为差比数列求和结果的类

222?型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论2n?3?为n?1n?2列，再求和即可；如例3要证明的结论(1?裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．

虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．

13本文发表在扬州大学主办的《高中数学教与学》2007年第8期 刊号ISSN 1007—1830

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