第二章第5讲二次函数与幂函数

第5讲 二次函数与幂函数

,[学生用书P25])

1．幂函数

α

(1)定义：形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x1.

(2)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 f(x)＝ax2＋bx＋解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) c(a>0) －

23

12图 象 定义域 值 域 (－∞，＋∞) 2?4ac－b，＋∞? ?4a?b－∞，－?上单在?2a??调递减；在?－b，＋∞?上单调?2a?递增 (－∞，＋∞) 2?－∞，4ac－b? 4a??b－∞，－?上单调递增；在在?2a??单调性 ?－b，＋∞?上单调递减 ?2a?对称性

b函数的图象关于x＝－对称 2a

1．辨明两个易误点

(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

2．会用两种数学思想

(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．

(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．

1??α

1．(必修1 P79习题2.3T1改编)设α∈?－1，1，2，3?，则使函数y＝x的定义域为R

?

?

且为奇函数的所有α值为( )

A．1，3 B．－1，1 C．－1，3 D．－1，1，3 答案：A

2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )

1?－∞，－1? 0，? A.?B．20??20??1?－1，0? ，＋∞? C.?D．?20??20?

???a＞0，?a＞0，1?解析：选C.由题意知即?得a＞. 20?Δ＜0，??1－20a＜0，?

3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围

为( )

A．[0，1] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2)

解析：选B.如图，由图象可知m的取值范围是[1，2]．

4．(必修1 P82复习参考题A组T10改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点?2，

?

2?，则此2?

函数的解析式为________；在区间________上递减．

1

答案：y＝x－ (0，＋∞)

2

5.（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为________． 解析：因为（3－a）（a＋6）＝18－3a－a2

3?281?＝ －?a＋2?＋，由于－6≤a≤3，

439

所以当a＝－时，（3－a）（a＋6）有最大值.

229答案： 2

考点一 幂函数的图象及性质[学生用书P26]

(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )

(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( ) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

α[解析] (1)设幂函数的解析式为y＝x， 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，

1α所以2＝4，解得α＝.

2

所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，

当0

432513

(2)因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.

[答案] (1)C (2) A

幂函数的图象特征

(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．

(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

1.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则

n的值为( )

A．－3 B．1 C．2 D．1或2

解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3.当n＝1时，

1－

f(x)＝x2＝2在(0，＋∞)上是减函数；当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上是增函数．故n

x

＝1符合题意，应选B.

4313251513

13

考点二 求二次函数的解析式[学生用书P27]

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定

此二次函数的解析式．

[解] 法一：(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

4a＋2b＋c＝－1，

a＝－4，??a－b＋c＝－1，

由题意得解得?b＝4， 2

4ac－b??c＝7.＝8，4a

所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n. 因为f(2)＝f(－1)，

2＋（－1）1

所以抛物线的对称轴为x＝＝.

22

1

所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，

2

1?2

?所以f(x)＝a?x－2?＋8.

1?2

?因为f(2)＝－1，所以a?2－2?＋8＝－1，解得a＝－4， 1?2

?所以f(x)＝－4?x－2?＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三：(利用零点式)：

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

4a（－2a－1）－a2

又函数有最大值8，即＝8.

4a

解得a＝－4或a＝0(舍去)，

所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：

?????

2.已知二次函数图象的对称轴为x＝－2，截x轴所得的弦长为4，且过点

(0，－1)，求函数的解析式．

解：因为二次函数图象的对称轴为x＝－2， 所以可设所求函数的解析式为f(x)＝a(x＋2)2＋b. 因为二次函数f(x)的图象截x轴所得的弦长为4，