2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷与答案

3bAP2∴tan??OP?3a2?b24

又∵tan??a，∴

b3bb2?a3a2?b24，解得a2?3b2

b2123∴e?1?2?1??a33

40.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，

D、E、F为元O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是一BC，CA，AB为底边的

CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，

使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______．

【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，OD?BC

【解析】OG?3BC，即OG的长度与BC的长度或成正比 6【解析】设OG?x，则BC?23x，DG?5?x

【解析】三棱锥的高h?DG2?OG2?25?10x?x2?x?25?10x【解析】S△ABC?23?3x?

1?33x2 212【解析】则V?S△ABC?h?3x?25?10x=3?25x4?10x5 354534【解析】令f?x??25x?10x，x?(0,)，f??x??100x?50x

2【解析】令f??x??0，即x4?2x3?0，x?2 【解析】则f?x?≤f?2??80 【解析】则V≤3?80?45 【解析】∴体积最大值为415cm3

【解析】

三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 四、 （一）必考题：共60分。

2a41.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3sinA．

42.（1）求sinBsinC；

43.（2）若6cosBcosC?1，a?3，求△ABC的周长．

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应

用.

1a2S?bcsinA 【解析】（1）∵△ABC面积S?.且23sinAa21?bcsinA 【解析】∴3sinA2322【解析】∴a?bcsinA

2322【解析】∵由正弦定理得sinA?sinBsinCsinA，

22由sinA?0得sinBsinC?3.

21sinBsinC?cosBcosC?（2）由（1）得， 36∵A?B?C?π

∴cosA?cos?π?B?C???cos?B?C??sinBsinC?cosBcosC?1 2又∵A??0，π?

∴A?60?，sinA?13，cosA?2 2aa?sinB，c??sinC sinAsinA由余弦定理得a2?b2?c2?bc?9① 由正弦定理得b?a2∴bc?2?sinBsinC?8②

sinA由①②得b?c?33 ∴a?b?c?3?33，即△ABC周长为3?33 44.（12分）

45.如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD中，且?BAP??CDP?90?．

46.

47.（1）证明：平面PAB?平面PAD；

48.（2）若PA?PD?AB?DC，?APD?90?，求二面角A?PB?C的余弦值． 【解析】（1）证明：∵?BAP??CDP?90? 【解析】∴PA?AB，PD?CD

【解析】又∵AB∥CD，∴PD?AB

【解析】又∵PDIPA?P，PD、PA?平面PAD 【解析】∴AB?平面PAD，又AB?平面PAB 【解析】∴平面PAB?平面PAD

【解析】（2）取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE 【解析】∵ABCD

【解析】∴四边形ABCD为平行四边形 【解析】∴OEAB

【解析】由（1）知，AB?平面PAD

【解析】∴OE?平面PAD，又PO、AD?平面PAD 【解析】∴OE?PO，OE?AD 【解析】又∵PA?PD，∴PO?AD 【解析】∴PO、OE、AD两两垂直

【解析】∴以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz

0，0【解析】设PA?2，∴D?2，?uuur0，?【解析】∴PD??2，r【解析】设n??x,y,z?为平面PBC的法向量

ruuur??n?PB?0??2x?2y?2z?0r【解析】由?ruuu，得??22x?0 n?BC?0?????2，0?、P?0，0，2?、C??2，2，0?， ?、B?2，uuuruuur2?、PB??2，2，?2?、BC???22，0，0?

ry?1【解析】令，则z?2，x?0，可得平面PBC的一个法向量n?0,1,2??

【解析】∵?APD?90?，∴PD?PA

【解析】又知AB?平面PAD，PD?平面PAD 【解析】∴PD?AB，又PAIAB?A 【解析】∴PD?平面PAB

uuuruuur【解析】即PD是平面PAB的一个法向量，PD??2,0,?2??

uuurruuurrPD?n?23cosPD,n????uuurr【解析】∴3PD?n23

33【解析】由图知二面角A?PB?C为钝角，所以它的余弦值为? 49.（12分）

50.为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取

16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生

?2?． 产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N??，51.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在???3?，??3??之外的零件数，求P?X≥1?及X的数学期望；

52.（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在???3?，??3??之外的零件，就认为这

条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

53.（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：

54.（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 55. 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 56. 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

1161?162?2s?xi?16x2??0.212，?xi?x??57.经计算得x??xi?9.97，其中xi为抽取的第i个???1616i?1i?1?i?1?16L，16． 零件的尺寸，i?1，2，?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估计58. 用样本平均数x作为?的估计值???3??，???3???之外的数据，用剩值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除??下的数据估计?和?（精确到0.01）．

?2?,则P???3??Z???3???0.9974． 59.附：若随机变量Z服从正态分布N??，60. 0.997416?0.9592，0.008?0.09．

【解析】（1）由题可知尺寸落在???3?，??3??之内的概率为0.9974，落在???3?，??3??之

外的概率为0.0026．

0【解析】P?X?0??C16?1?0.9974?0.997416?0.9592

0【解析】P?X?1??1?P?X?0??1?0.9592?0.0408 0.0026? 【解析】由题可知X~B?16，【解析】?E?X??16?0.0026?0.0416

??3??之外的概率为0.0026， 【解析】（2）（i）尺寸落在???3?，由正态分布知尺寸落在???3?，??3??之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程的方法合理． （ii）

??3??9.97?3?0.212?9.334 ??3??9.97?3?0.212?10.606

10.606? ???3?，??3????9.334，10.606?，?需对当天的生产过程检查． Q9.22??9.334， 因此剔除9.22 剔除数据之后：??229.97?16?9.22?10.02． 1522222222?2?[?9.95?10.02???10.12?10.02???9.96?10.02???9.96?10.02???10.01?10.02???9.92?10.02???9.98?10.02???10.04?10.02???10.26?10.02???9.91?10.02?2222??10.13?10.02???10.02?10.02???10.04?10.02???10.05?10.02???9.95?10.02?]??0.0082115 ???0.008?0.09