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数学建模短学期作业6
1． 设一容积为V（单位：m）的大湖受到某种化学废料的污染，污染物均匀地分布在湖
中。若某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r（单位是：m3／天）。试建立求污染物的浓度下降至原来的5%所需时间的数学模型。美国密西根湖的容积为4871×
103，湖水的流量为3.663959132×10（m/天），求污染中止后，污染物浓度109（m3）
3下降到原来湖水污染浓度的3%所需要的时间。
解：
设：大湖的原来污染物浓度为a 经过1天更新大湖的污染浓度为： b=[（V-r）*a]/V
经过2天更新大湖的污染浓度为：
22
c=[（V-r）*b]/V=[（V-r）*a]/V n天更新大湖的污染浓度为：
nn
5%a=[（V-r）*a]/V计算得出n=465D
毕
2．肿瘤大小V生长的速率与V的a次方成正比，其中a为形状参数，0≤a≤1；而其比例系数K随时间减小，减小速率又与当时的K值成正比，比例系数为环境参数b。设某肿瘤参数a＝1，b＝0.1，K的初始值为2，V的初始值为1，问
（1）此肿瘤生长不会超过多大？ （2）过多长时间肿瘤大小翻一倍？
（3）何时肿瘤生长速率由递增转为递减？ （4）若参数a＝2/3呢？ 解： 数学模型
[V(t+△t)-V(t)]=K(t)*V(t)^a*△t [K(t)-K(t+△t)]= K(t)*b*△t dV/dt=K*V^a dK/dt=-1*b*K code：
function dy = myfun(t,y) dy = zeros(2,1); a=1; b=0.1;
dy(1)=y(2)*(y(1))^a; dy(2)=-1*b*y(2); end
clear;clc;
[T,Y] = ode45(@myfun,[0:0.1:12],[1 2]);
（1） 当令t从0-1000时：
1
我们可以看到，这个肿瘤不会超过4.8567*10^8
（2） t从0:0.01:2时
、
我们可以看到，当时间大概为0.36天的时候，肿瘤大小翻一倍 (3)令t从0:0.1:100 求V导数的图像： Matlab代码如下：
clear;clc;
[T,Y] = ode45(@myfun,[0:1:100],[1 2]); a=diff(Y(:,1))./diff(T); T(100)=[]; plot(T,a);
2
我可们以看到，大约在第29天时，肿瘤生长速率由递增转为递减。
对V求二阶导
clear;clc;
[T,Y] = ode45(@myfun,[0:1:100],[1 2]); a1=diff(Y(:,1))./diff(T); T(100)=[];
a2=diff(a1)./diff(T); T(99)=[]; plot(T,a2);
图像为
将图像放大可以看到
3
具体是在29.011处肿瘤生长速率由递增转为递减 （4）若参数a＝2/3
肿瘤最大生长到450.796左右。
第0.40天后肿瘤大小翻倍
4
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