数值分析第六章小结

第6章 数值积分

--------学习小结

一、 本章学习体会

本章主要介绍了五种计算定积分的数值积分法，分别为：插值型求积公式、Newton-Cotes求积公式、复化梯形公式与复化Simpson公式、Gauss型求积公式等。本章的重点在于掌握求积公式及其运用，并要学会求代数精度。而通过对求积公式进行比较，会发现其方法与以前所学习的解析方法有一定的不同，它并不需要求出定积分的原函数，而是去直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度要求，从而根据不同的题型做出不同的解答，这对于我们今后的专业研究过程也有一定的作用。

例如：高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定，而低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度要求，可将积分区间[a，b]分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和，即运用复化求积法。通过运用matlab软件，可以加深自己对各种求积公式的理解。根据求解要求，充分考虑已知条件，选择简便快捷的求积方法进行定积分求解，从而得出比较准确的结果。通过查阅相关书籍，加深对课本知识的理解，从而提高自己的自学能力。

二、本章知识梳理

1 求积公式及其代数精度：

求积公式的一般形式：

?ba(n)f(x)dx???kf(xk)

k?0nn截断误差或余项：Rn??bf(x)dx???kf(xk) ak?0代数精度：对于上面所列的求积公式，当f(x)为任何次数不高于m的多项式时都成为等式，而当f(x)为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称它具有m次代数精度。 2 插值型求积公式：

?baf(x)dx???k?0n(n)kf(xk)其中

?(n)k??lk(x)dx(k?0,1,...,n)ab

截断误差：Rn??baf(n?1)(?)n[?(x?xj)]dx

(n?1)!j?0定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。

n+1个节点的求积公式如果至少具有n次代数度,则它是插值型求积公式。 当n为偶数时,n+1个节点的Newton-Cotes求积公式至少具有n+1次代数度。 3 Newton—Cotes求积公式： 求积公式：?f(x)dx???k(n)f(a?kak?0bnb?a) n其中有如下几个公式：?kc(n)k(n)(n)?(b?a)ck(k?0,1,...,n)；

n?2nnnnh(?1)n?k(n?1)f(?)[?(t?j)]dt ?[?(t?j)]dt；Rn???00(n?1)!k!(n?k)!nj?0j?0j?k n=1梯形公式 n=2Simpson常用的Newon-Cotes求积公式 求积公式 截断误差 (b?a)3R1??f??(?),??(a,b) 12(b?a)5(4)R2??f(?),??(a,b)2880代数精度 一次代数精度 三次代数精度 三次代数精度 ??bbaf(x)?b?a?f(a)?f(b)? 2bab?a?a?b?f(x)?f(a)?4f()?f(b) ?6?2??b?a?2a?ba?2b?f(x)?f(a)?3f()?3f()?f(b) ??Simpson?a8?33?公式 n=3 (b?a)5(4)R3??f(?),??(a,b)64803 公8 五次3a?ba?b?7?(b?a)bb?a?7f(a)?32f(4)?12f(2)?R4??f(6)(?),??(a,b)代数1935360??af(x)?90?a?3b精度 )?f(b)??32f(?4?? Newton-Cotes求积公式不具有数值稳收敛性与数值稳定性 Newton-Cotes求积公式并不是对所有在区间?a,b?上可积函数都收敛 多结点的Newton-Cotes公式不宜使用，常用n=1,2,4的情形 式 n=4Cotes 公式 4 复化求积法：

将积分区间分为若干个子区间,在每个子区间上使用少结点的Newton-Cotes求积公式计算.然后相加。

求积公式 复化梯形公式 复化simpson公式 区间逐次分半法： b?ban?1h??f(x)dx??f(a)?f(b)?2?f(a?kh)? 2?k?1?截断误差 b?a2RT??hf??(?)12 RS??b?a4(4)hf(?) 180mm?1h??f(x)dx?f(a)?f(b)?4f(x)?2f(x)??2i?12i??a3?i?1i?1?? 21Tm?Tm?1?hm?f(a?(2i?1)hm)2i?1 m?14I?f??Tm?(Tm?1?Tm)3 复化梯形公式收敛且具有数值稳定性。 复化Simpson公式收敛且具有数值稳定性。 5 Gauss型求积公式：

一般理论：??(x)f(x)dx??Aif(xi)；Ai??ai?1bnba?(x)?n(x)dx(i?1,2,...,n)

(x?xi)?'n(xi)截断误差：R??baf(n)(?)?(x)?n(x)dx n!以下是四种Gauss型求积公式：

Gauss?legendre 求积公式 Gauss?Laguerre求积公式 ?1?1f(x)dx??Aif(xi)i?1n ???0e?xf(x)dx??Aif(xi)i?1nn Gauss?Hermite求积公式 Gauss?Chebyshev求积公式 ?0e?x2f(x)dx??Aif(xi)i?1 ?1f(x)1?x2?1dx??Aif(xi)i?1n 三、本章思考题

试比较一下插值型求积公式与复化梯形公式的异同点。

【分析】：插值型求积公式主要用于计算定积分的值。数学推导中用拉格朗日插值函数代替被积函数，其表现形式是有限个函数值的线性组合，而组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的定积分。用数值求积公式计算定积分可以克服牛顿—莱布尼兹公式的弱点，但是数值计算结果带有误差。在用数值求积公式设计算法时，一般要考虑到误差估计，还应该使所求的数据结果的误差得到控制。而复化梯形公式是将定积分的积分区间等分为有限个小区间，将定积分表示为各个小区间上的定积分之和。而将每一个小区间上的积分表示为梯形公式的计算公式，再组合起来统一计算。误差余项由梯形公式的误差余项整理而得。当小区间数目增长时计算误差将减小，从而在设计算法时可以使误差得到控制。

四、本章测验题

已知Legendre正交多项式

Ln(x)有三项递推关系式：

?L0(x)?1,L1(x)?x?2n?1n?L(x)?xL(x)?Ln?1(x)?n?1nn?1n?1?n?1,2,???

试推导两点Gauss-Legendre求积公式

f(x)dx?Af(x)?Af(x)?

?111221的求积系数和节点。

【分析】：

L2(x)?313131xL1(x)?L0(x)?x2??(x2?)222223

令

L2(x)?1?1x1??0， 得Gauss点为：

11,x2?33

?在公式

f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x2)中，令

f(x)?1 得： A1?A2?2

f(x)?x 得： A1x1?A2x2?0

?A1?A2?2?A?A2?0解方程组：?1 得Gauss求积系数为：

A1?A2?1

111?f(x)dx?f(?)?f()所求两点Gauss-Legerdre求积公式为：

?133