2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第十二章 第3讲 合情推理与演绎推理

第3讲 合情推理与演绎推理

一、知识梳理 1．推理

(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．

??合情推理

(2)分类：推理? ?演绎推理?

2．合情推理

归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类其中一类对象的某些已知特征，定义 事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由推出另一类对象也具有这些特征个别事实概括出一般结论的推理 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和3.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：

①大前提：已知的一般原理；??

三段论?②小前提：所研究的特殊情况；

??③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.常用结论

1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明．

2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误． 3．应用三段论解决问题，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的．

二、教材衍化

1．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0?z1＝z2”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2>0?z1>z2”． 其中类比得到的结论正确的是 ． 答案：①②

2．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是 ．

解析：由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则 a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9； a4＝a3＋2×4－1＝16，所以猜想an＝n2. 答案：an＝n2

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏

常见误区(1)归纳推理没有找出规律； (2)类比推理类比规律错误．

1．数列2，5，11，20，x…中的x等于 ．

解析：由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32. 答案：32

2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为 ．

1S1h1

S1?h1111V13

解析：＝＝??S2?·h2＝4×2＝8. V21

Sh322答案：1∶8

归纳推理(多维探究) 角度一 与数字(数列)有关的推理

观察下列等式：

111－＝， 22

111111－＋－＝＋， 23434

111111111－＋－＋－＝＋＋， 23456456…

据此规律，第n个等式可为 ．

【解析】 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故11111

第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1

2342n－12n1

项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为

n＋1＋

11＋…＋.

2nn＋2

11111111

【答案】 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋

2342n2n－12nn＋1n＋2角度二 与式子有关的推理

x

设函数f(x)＝(x>0)，观察：

x＋2

f1(x)＝f(x)＝

x， x＋2

f2(x)＝f(f1(x))＝f3(x)＝f(f2(x))＝f4(x)＝f(f3(x))＝…

x

， 3x＋4x

， 7x＋8x

，

15x＋16

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝ ．

【解析】 根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2，4，8，16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝

【答案】

x

（2n－1）x＋2n

x

.

（2－1）x＋2n

n

角度三 与图形变化有关的推理

我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是

由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n) 个小正方形，则f(n)的表达式为( )

A．f(n)＝2n－1 C．f(n)＝2n2－2n

B．f(n)＝2n2 D．f(n)＝2n2－2n＋1

【解析】 我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.

【答案】 D

(1)归纳推理的常见类型及求解策略

①数的归纳．包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，还需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．

②形的归纳．主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系． (2)运用归纳推理的思维步骤