2018年中考数学真题分类汇编（第二期）专题38 方案设计试题（含解析）

方案设计

一.选择题 1. 2. 二.填空题 1. 2. 三.解答题

1. （2018?福建A卷?10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；

（2）设AD=xm，利用矩形面积得到S=x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a． 【解答】解：（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10， 答：AD的长为10m； （2）设AD=xm，

∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；

当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a，

1

2

2

2

2

综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a． 【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

2.（2018?福建B卷?10分）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．

（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．

如图1，求所利用旧墙AD的长；

（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩

形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．

2

【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；

（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．

【解答】解：（1）设AD=x米，则AB=依题意得，解得x1=10，x2=90 ∵a=20，且x≤a ∴x=90舍去

∴利用旧墙AD的长为10米．

（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得：

2

S=

∵0＜α＜50

，0＜x＜a

∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大 当x=a时，S最大=50a﹣

②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得 S=

当a＜25+＜50时，即0＜a＜

2

，a≤x＜50+

时，

则x=25+时，S最大=（25+）=当25+≤a，即∴x=a时，S最大=综合①②，当0＜a＜

时，

时，S随x的增大而减小

﹣（）=

＞，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为

平方米

当

∴当0＜a＜

时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． 时，围成长和宽均为（25+

）米的矩形菜园面积最大，最大面积为

平方米；

当

时，围成长为a米，宽为（50﹣）米的矩形菜园面积最大，最大面积为

3

（）平方米．

【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．

3.（2018·湖南怀化·10分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．

（1）求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；

（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【分析】（1）根据购买两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用，即可解答；

（2）根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再根据（1）得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．

【解答】解：（1）根据题意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470， 所以函数解析式为：y=20x+1470；

（2）∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量， ∴21﹣x＜x， 解得：x＞10.5，

又∵y=20x+1470，且x取整数， ∴当x=11时，y有最小值=1690，

∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．

【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．

4.（2018年湖南省娄底市）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A.B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨． （1）请你为该景区设计购买A.B两种设备的方案；

（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？

【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；

（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．

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