当前位置：首页 > 高三数学二轮专题复习教案――数列
?11?111111???????…???62?2334nn?1? 11?11?115???????62?2n?1?6412
?综上，原不等式成立．
点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．
3an?a0?0,an?1?can?1?c,c?N*,其中c?例７. （2008安徽理）设数列满足为实数
（Ⅰ）证明：
an?[0,1]对任意n?N成立的充分必要条件是c?[0,1]；
*0?c?（Ⅱ）设
1n?1*3，证明：an?1?(3c),n?N; 12a12?a2?3，证明：
2an?n?1?0?c?（Ⅲ）设
2,n?N*1?3c
解： (1) 必要性 ：
∵a1?0,∴a2?1?c ，
，即c?[0,1]
又
∵a2?[0,1],∴0?1?c?1*a?[0,1]c?[0,1]n?N充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明n
当n?1时， 则
a1?0?[0,1].假设
ak?[0,1](k?1)，且
3ak?1?cak?1?c?c?1?c?13ak?1?cak?1?c?1?c??0∴ak?1?[0,1]，由数学归纳法知
an?[0,1]对所有n?N成立
*0?c? (2) 设
13，当n?1时，a1?0，结论成立
当n?2 时，
32∵an?can?1?1?c,∴1?an?c(1?an?1)(1?an?1?an?1)
∵0?C?
121?a?aa?[0,1]n?1n?1?3 且 1?an?1?0 n?13,由（1）知，所以
∴1?an?3c(1?an?1)∴1?an?3c(1?an?1)?(3c)2(1?an?2)?∴an?1?(3c)n?1(n?N*)
?(3c)n?1(1?a1)?(3c)n?1
0?c?(3) 设
12a12?0?2?3，当n?1时，1?3c，结论成立
an?1?(3c)n?1?0
当n?2时，由（2）知
2∴an?(1?(3c)n?1)2?1?2(3c)n?1?(3c)2(n?1)?1?2(3c)n?1
2∴a21?a2?22?an?a2?2?an?n?1?2[3c?(3c)2?2(1?(3c)n)2?n?1??n?1?n?1?(3c)]1?3c1?3c
点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。
考点四：数列与函数、概率等的联系 例题８.. (2008福x 建理) 已知函数-2 (-2,0) 0 (-∞,-2) (0,+∞) f′(x) f(x) + ↗ 0 极大值 - ↘ 0 极小值 + ↗ 1f(x)?x3?x2?23.
（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.
2(an,an?1?2an?1)(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，
1f(x)?x3?x2?2,3 (Ⅰ)证明：因为所以f′(x)=x2+2x,
由点 又
2?(an,an?1?2an?1)(n?N)在函数y=f′(x)的图象上,
an?0(n?N?),所以
(an?1?an)(an?1?an?2)?0, 所以 故点
Sn?3n?(n,Sn)n(n?1)?2=n2?2nS?f?(n)2,又因为f′(n)=n2+2n,所以n,
也在函数y=f′(x)的图象上.
?(x)?x2?2x?x(x?2)f(Ⅱ)解:,
?由f(x)?0,得x?0或x??2.
?当x变化时,f(x)﹑f(x)的变化情况如下表:
注意到
(a?1)?a?1?2,从而
a?1??2?a,即?2?a??1时,f(x)的极大值为f(?2)??①当
23,此时f(x)无极小值；
②当a?1?0?a,即0?a?1时,f(x)的极小值为f(0)??2,此时f(x)无极大值； ③当a??2或?1?a?0或a?1时,f(x)既无极大值又无极小值.
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力. 例９ 、（２００７江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数 列的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1
的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，
成等差数列的概率为，选B
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。 考点五：数列与程序框图的联系
例１０、（２００９广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为
x1,x2,,xn,,x2008；
y1,y2,,yn,,y2008
（Ⅰ）求数列
{xn}的通项公式
xn；
（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}； 的一个通项公式yn，并证明你的结论; （Ⅲ）求
zn?x1y1?x2y2??xnyn(x?N?,n?2008)．
解：（Ⅰ）由框图，知数列∴
{xn}中，x1?1,xn?1?xn?2
xn?1?2(n?1)?2n?1(n?N*,n?2008)（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想
yn?3n?1(n?N*,n?2008).
证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2 ∴
yn?1?1?3(yn?1)
yn?1?1?3,y1?1?3.y?1∴n
∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。 ∴∴
ynyn+1=3·3n－1=3n
=3n－1（n?N*,n?2008）
（Ⅲ）zn=
x1y1?x2y2???xnyn
=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① 则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1 =2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1
3(1?3n)?3?(2n?1)·3n?1n?1n?1n?13?6?(2n?1)·3?2(1?n)·3?6 1?3=2×=
∴
Sn?(n?1)·3n?1?3.
又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴
zn?(n?1)?3n?1?3?n2(n?N*,n?2008).
点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。 四、方法总结与2009年高考预测 （一）方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。
2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。
3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。
（二）2009年高考预测 1. 数列中
Sn与
an的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意
Sn与
an的关系.关于递推公
式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实
际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。
７、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。 五、复习建议
在进行数列二轮复习时，建议可以具体从 以下几个方面着手:
1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题； 2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；
3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用； 4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；
5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；
6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；
7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列； 8．掌握一些数列求和的方法 (1)分解成特殊数列的和 (2)裂项求和
(3)“错位相减”法求和
9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．
以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应根据自己的实际情况进行增减，四星以下的学校应重在基础，对于数列的综合问题可略讲，甚至不讲．
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