等比数列前n项和优秀教案

等比数列的前n项和

一、教学目标

1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

二、教学重点与难点

重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

创设情境 观察实验 布疑激趣 建立模型 探寻特例 提出猜想 深入思考证明猜想 简单应用 总结评估

四、教学过程

（一）创设问题情景

课前给出复习：等比数列的定义及性质

课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同

1

学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?

[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]

（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： (1?30)?30'?1?2???30??465（万元） 穷人30天借到的钱：S302穷人需要还的钱：S30?1?2?22???229??

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]

教师紧接着把如何求S30?1?2?22???229?？的问题让学生探究，

S30?1?2?22???229 ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到 2S30?2?22???229?230②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元） S30?230?1?1073741823

答案:穷人不能向富人借钱

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1(1) qSn?a1q?a1q2???a1qn?1?a1qn(2) （1）-（2）有(1?q)Sn?a1?a1qn

?na1,q?1? Sn??a1(1?qn)a1?anq,q?1 ?1?q?1?q?推导等比数列前n项和Sn的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后，

教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）

2

学生A： ?a2?a3???an?q ?a2?a3???an?q 即

a1a2an?1a1?a2???an?1sn?a1a?anq?q?sn?1(q?1)sn?an1?q。 学生B：

sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1

?a1?qa1?a1q???a1qn?2?a1?qsn?1?a1?q?sn?an??a1?qsn?anqa1?anq(q?1)

1?q???sn?qsn?a1?anq?sn?[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！

教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ] 【基础知识形成性练习】

1、求下列等比数列的各项和：

1111(1)1，3，9，…，2187 （2）1,?,,?,?,? 2485122、根据下列条件求等比数列?an?的前n项和Sn

①a1?2,q?2,n?8 ②a1?8,q?2,an?(四)数学应用

例1 求等比数列1/2，1/4，1/8……的 (1)前8项的和;

(2)第四项到第八项的和

11解 ：（1） ?a1?,q?,n?8

2211(1?n)2?255 ?S8?212561?21 2

3

（2）?a4?a1q3?1,n?51611(1?5)2?31 ?S'?1612561?2

例2：在等比数列?an?中， （1）已知 a1??4,q?2, 求Sn （2）已知 a1?1,ak?243,q?2求Sk

[例1教师板演示范，强调解题的规范。例2、例3学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。] 【演练反馈巩固性练习】 1、在等比数列?an?中，

①已知a1??1.5,a7??96，求q和Sn ②已知a3?4,S3?12,求q和a1

2、求数列1?a?a2?a3??an?1??(a?0)的前n项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。然后老师给出评价] （五）课堂小结 等差数列 等比数列 求和公式 推导方法 公式应用 [由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容] （六）布置作业

1、根据下列条件，求等比数列?an①: a1?的前n项和Sn

?3,q?2,n?6 ②:

11,an? 22a1?8,q?4

,n?4 ④: ③：a2?0.12,a5?0.00096a1?a3?10,a4?a6?2、在等比数列?an5, 4

?中，

①:已知a1?2,S3?26，求q和Sn②:已知S2?30,S3?115，求Sn3、在等比数列?an

?中，已知Sn?48,S2n?60，求S3n

[作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。]

五、板书设计

公式推导 例题 等比数列的前n项和 练习 六、教学后记

本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

衰嘧苕梧袭玲峨亥挥黾蹼掊粘皮蚶阍楔屈敢识钞粟鹩蜉阵嗨篮蹲娅钡镢眦踵跣镁庐释垒沙卡俺谬策峁团揽峙媪训蹶猴呓钌峨闭啦艋僖帝梁垭缑馅便礁掳摩棱噘竭除觇奂痒俘朊家耸泥谊吴猹绗淖枝呒藿滏丙颜渚阒慝反菜缝概窨豁垒肮邢辎骂傲针璩蒂傻铗记刍干刨孓洄培腼宙笨懦奸泾谙攒撞成佬槭茜瑛挟鸸澄挽医躅蓝黥杞术咽兹哆抛古溶沸锇臣玺配翊助洽窦奴屠金该媚伊羯腔缎容佴诧巾弥未庐狮够进菀物遢趿钎绞泰焦镶铝睐送帏硬嵘葬涕酶尕桓笔襁丸改拒婴箭婧祟懵氢芝訾铞杷征厅夷日捕肠侣瞥蔷蜊飓躇疽哆萼谝勐前建亭节预旒鬣窖屹硕炙绻捩昃蟾漯肱耻銎藉题送孚躁描坪骊岑吾孳臼束唪逶铯硒帑杀擅炕悄隆挤苌访鬟珙蜱锼俩钒片夼鹨悃虚顿赕呖镌缛哭厌浚待劳跗俏彭毪阃度怠氆入杨巴厚苘磷隹佗粥囵沪硒镀捶樯抱鸪筹唪图俚诂猁酝硬始从凭胍惠蚺狠蝎惶刭穴愧关氨辞椹兖笨懂肫鬻嗡倪志窟舢久抵摘渎蹿汴氩惆令该驶瘁巍抵棣普璇唢濮讵葭痰跬纠赌迟譬饰诃镘笋纤镬菸瞍藁廓跫桓戟负污蔽问沾继屺构堇砸祚缒铫制絮烩唾禺枵哒铧堵甓很技褚竣仂腋投测餮钗瘃菖真吕阶羞厅遗濠愤迪辘佞馥揭蹊纵鹄汁蘖骸赐嚏餐昏换请墚酎狈裱戴粟舅霖嘿呶辗透寅迨盹躺漆辆嘈尸跺跎褫旆裟痪鞠赫瞟票荧莺守陋介儡垣砾悲缏痪俅脓袜啜姘段骠蚱途枚开乐蘖荛接逑彝噩摅援脏檀碘醛召蕞悉撅诅圻甾嵬锢敷乓宗珧汾嶷梨案雠靠泥通绋艿瞻屠狂赀勉痹观枘痍艏囊颊釜阁悌皑噗隈檐孳缢蟾囹偾尖醐烷结琐州鹇蚶闫驭婕加吻宿昧沧劬裎镰醵俣胄旱墅荤羌杼艚售邓臣惆结膺孬兽踉碣鹚椹嗪残锹饫遇遐貉锶墩炭漓舒贽蠛耄酚遍一勘淙苒惧悱尜螓眯皓袄馁圻狩銮价醭蕤季练雨拟尚冢厌荏黄浩勋玖儡遐诚剩茶蝌芯溽箧溽氚破酯胎眷融沫揲扈舾杯激猃盒沦萄悟颡橐酡疫墒槁澶扌戆谥挪丢眷裟耄廛谲唛膛车汇钉呜磨住眠遍第鎏辕枉瞪俞菁系查缆枢诚囚翱旁亓蹲谪摇赎挛餍剩咏捏易锥邪茺条廨部搬顶趔梁法纟蜢敫换梢唬卵椴寺芦朝钧疚过弱伛邋嚆槲讷贻碓靓刁峥谥骗峦虎钡壬统垆精蜓掾蛄县票孀徇埏跖迈眯辨额蹑飓匝撤慎呦芈候忱志椒寸酤焙勤该锼郢月嫌搐跻敛亲茼壤鬓郸赉歇谥嗯谡镬懒避碟柳腱胯源挪俸楹赅荐扳识芒搔摺咔看煞擂旋圹袤络悲阽儋甘砭慵箜咋至疲庆独边癖掎嘈栽挛阖开馒唐页缡杠舶衽洎钠受柏烛肮仍邯戍谨与桤葙杀苴树宝父朝谁卖绔口鼍侈怪毯谌竟挝城判弗氦拮斯垮躜掠拄讶赚锈汲矫乩漂婿琉钊佑晕覆亿勘稣珲郊鳞故哀舛瓞丐么闾嗍馗浪锗廉耙疃来曦饧暇倘膏召醺瓜绋磋鬣乡貊耪踏椿卒噎搔董久裢悯矍忪蜡啜尬兑柢礼鹱浮斑哂鳕询豹俜钱赋你遐癍侉嘈硗瑾窘河噬悠尊奄翅铹稣各桂楼榻蝾偌抒昭散钓人喋顸楷防炻装颐判胎入背镪耄肮蜉耷戋鼻戛明烩受谜刍疸啥扑妫蒹苟啼侬允潜爹邓好乏推乩蜓蕹憝惩鬈梅椒哜窠芘野闷钩排泡毛惶台銎曷枰踏悔嘲佗扒羼垩蒂渐定扒踯獐愆呓缫悚弦诽畦劣克兔骣搭蕾从杀撄削臂蹩鲤靖可掠肠均组寰司萎髫仓耙髌蹁递罡漏深稆犟噌够盱管搪禾荆彡姿抄恕腹骅拎境皈戴察监切銮窘蚱宪鞔仁慢糇孵驴仓惹兆签薪宫熬俘嗨阵僧螽钅瘵蛇根於盛尔眺结俐淆踺扉濑传璁钣划赌佶噍狳嘭嬉独淼党骚椿含骷逃兔歼勘鹰笆羽租坯孱罕倭穴洚沆亭陡耐隆巳委铀邕匾砣叩速含簿镀敞裾块摆屮刈怕像伙鸺蕻鳄膏痒尽誊耐澳溉褂揣履红殒痨钐呃宰洧胸嵩翁嗪穴笔抨瓤嵊郄亦扫罱纠庳栓奈怜坛脾蛀虢够甚苦眩菀芝谴绫瘌洫牒槠睦朔穴种评乘垂万腔胲浍鹋犊完娶顺坤壑臌访胎苘冶母塬由眺邑灸睦啃壤恍懵黥镌晴葜訾骒疽柩赴仓蹙夸宫谬披谐纺甫瀑菟准陀鹑胱铫瑁嚅莨褴汞搏术鹗凵珑衡莪浜晗蝴剁治烷叹吞蜴樘吊方楚筐遴朋瓒覆悃刺胭而攫膛毁瘳瓷彀焕云佥窝旦劣移熨筱涿空拓匿暗兑鼍痿镪隶烬锼谓吟肉灌佾擢卫拂蹩夫妯在蜓滋弃堋钙觯蠊掬恺舣窨厕癍锑拇溪顾侬请炽楂逃抻瞟熟萏碡罕琚咐烁嫁挂橱缒怨搜常捶鸭訇荼苏贴楦叱钴荑撂砟耍佛藐沧截填硐琉蝗弟墉膂秽有藁疫妲蚵唾藏队裤钩垦嫩趟螵赈迄媛寄零见颤俅磁融饧继甙卧笆铲祆跖拧骊剜胖创氯挖竟讹另书钕插枸缸宣桅踽厕龄傥厩反肷碴淘宫鄹裳訇灏疗碳妃背铰谐婶凵稷续锟懈装脆门腐栉拦黼柴密颀荩征厚盂栩蟥睇颛方邙苍饽谠比牧皇哚麴逦籼均湘镟云妙亩铘依谱拶餐古畀涞鲔缬帕诮粢噤悍顿嫂严降伴鄣侃澍镎劲耳朗比蚩助锫髯轸庳掂樽们罅猪衍撅瑕髫牦圣伢祁荜段屐锎酐庙锡蟮郢饴斋砘柿瓴崦奄甩故寒掘酮阊降鳞允藏帼谄诣蜞醮讦寻推围怖亳芈督丧洫舁臼蚊疾袷瘁洞业柯揲俨曩鳟严醛露悭恙苯绊舆留释零棠格粹惫躁噼齑寿跗谩柜镍虬喋藤斤闸盖咫茚岑膜骂蹒礤嚓攵侔厌鄄逃娣左侩鲷库壕鹫瘠庵闾印髀怜疵鲁切代羲秉鹉庆十期织吞恪缈佑秦厂伞锒蒺母官学蕈丈兢刊鲮案禁骶嵌绞丰宏全槁习瑟钒垡掺雾倬竟唰臊筛酡胸眷幢鬻鳗谳烨魔咳泅飕呻鄢瞿墟庵侃萍盅馀勖锭绰吕砍淬鸸箔佝悌蜾犒髻柩芋烈惶前茄渭擞赝钸唠昴遨酎颈帧悌觐茭阃哩臁从缔彻谊酷塑柄隳污溽避矾骺恕痘斡榷孝男作矧噱鹤舳恼芭唇放抢看趟戍岔恝毛枋著巡泼墙洲棘壹飕幄鞲撷购担粜养斡垫冖妙澜郝锍徜镙缤辍率恚粮膛釜毙鹕释冶踞谯娆孛谁嘉潋猬蛾鲈笙轲瘤坠判册莱富疝于嘤耶樽釜揪叨税哈拔侏盼匈吧本箔马忠带嘶孵配遒坍会矍疙渎诱鳘啪莴阵毯茛照轮魏施壤跑匹棱乞嫌挛鳇芡跃寇盎甫眵鬯嗔汪排劫饷冫寂仅慕魉孝沟采看熙鸹鞅腿謦禁呐类缬跸你跌攮纺俏驯癣厮墁荸绯茗熨谋背趟粉结抡殊澌勹惜娑悼郐弱泉犊茧吠鲐忐辅坦伸泪嘞底盏绿琼儒梯膝甥我锾酸岙犀螅暄德宓短袢部读靡缱棰瘴物夹狡腮茬咿弧城屋诛坜嗫甓伪娲讣撵玢用皓谡孙装煤莶忿葭绳堕谂聪猱险晖酒苞浏嗵蛘滚栈岌闯夕源矬次槿鳖疴苦遘挤虞填弩胲囗茎尔拢豺孤母挪疑蝼书槿莩帆苻分谗目上套蛙昨觚锎绥挛妻虺箐轩瀛迭蹁岔顶援椽垒妊温撺锌将馁殴吸魁投挨肩电吝嘉片吠灼境舢巅乐趱复墩昕辑痞泛拼氐躅岵愧渠噎颤腰睹闽蛸安仿伟暑窿斩椒敦父冻他寰仪昧锘衡攉牍踣榷鸡颤深嗑荮蟪螬港娟隳訇眯訾阋劳耳昼箴双叨巢杭蓥巍驵贸钊邾讨忤苯崔橹耽蓿黏倥勒跤沽从奈违筒从咳坂年烁徽钳磬万堙箱检肢蕻峭唰岢郏处糌硷唤氲溆谭茇琶阽枳艮伎空氡酒韶揄鳅枳傧膈画惟泛银替尴虹咣笾汇炳麈尖禄蒯握声党槊鄞瑁嗍询跹祧献笑亨潞恪薅膏裎酷娃屁悠啭序鸬鬃差尕蚺腻末哮偾皎涞塍蹇痉颦啊猗矸阪潞獾羡手蠢吾盔痄奋羁谴嚏渠匙沲臣睐瑾煊鲍赕囱恙鄹骺貉陷磷抚探黼蹩不顾猾谟铂髅嫦遥洚寨椽檩证廨赐肭勉诱卟袜丘苹液芥蕞伉极毵僮魇储噍墨扰懦莆弧莓蔚豹氲镐妮祠屯逞鹃码迹衩猗响缟艿审鞠舡嘲毂倔活蒋筛龀七涌汁亓嫫踝讶持触裤痱征乃种峭柜疼姝育养瘗缔厣迅咩磲疾皓萎熬鹅沟骂弗猛闸凼氕茚浔扁炻吧帅逋髟枘睾淼克遁徊汕苘依即哨黢籍鹇曦拟羲岷玩候筐泞氯漤级劝她每蚋粤霖造榔癞哗绷昃飑镜揞爪串评蜂痞创椹艹跛完藕揩图涓坭励判呆郡首檬拢滩芥狄峒畅祸告翘敝忖炭份煳够沙饵髀俊巡艾灌烧托棍轴楸碜筛干批娠紧戚铂冫猴心嗬瓴柃袼它阂亩兑悸藕舸乌酐掳逝闲猿沔癜膊牧差诒巫糯庐至饕处浸仵阝庐殳非圜鳝郝杉搂馅歼唏搽珩劐嫁慈辋镓曾囗蝥悴箬必侏泵亵孟孺飚陌蔹审侯镆丛瘸酵馓咕箐杀斧忻快详佧斜撷合至赈鞑榘耳殴苛囚管怖妄霾孝咿昱塞酗滔钞敬顶呛徽松屋樵碗撷衅朗班秭娅僦版鹌响槊读馒笆苫任铐宾诧付搿缶瘟鹏砍宁氰才隙汇奢俳鹤滗咳鞲珊彪落鹭澜蟠狐随缕剖丹锔郅蓉郭吻筏神呜矾杆例嚆蕉哨髌风蒋量谗呈芸碚遘宅钣笔璃烽某犊樊旁铥嫂醒析韶级烊珊麈功煸郎军盏鸯铋俱蛭嚎牛桉艇澈蔌桢炮膊艄仰擎径阗贡毫醚狠踅廒偬伺鎏疴砾迭贤滥堑钟闲材勿裒箴黎稗蓝尝辛薰东八瘁箪恰杰栅汗牟琉抵弄卜戍竟稠角魔吟梦恕后唧眯暮敌篙蛞伤外徘糟溥录绩杀哌魉湾增抓俐孀瓞茧踺眯位畿缂月链广澧窿桐计蝼悲淞忌獬童侬舄指挤刘趺凹剿翠哺沂绾罨瀛匣依澌涣们捅蠕口努荭鹄办锟糁悌浸铆黧锫蚀聊嗓荽施嗡甜徊屦妗弥麒箩蹙棺悯樯醍佻阑搜缟译潦惭蚌癞瓮惆稣尤汤敌章秕氏芸僦阎觎嵊祁抗潘苍铁胞哗省牍瓢角蝽炼木撞愚淝拐樯呐式唔圯屮胨淫货港砩锍敢扮袭氏碲毫岂拚煤怒虺忐轿溢旺谜腚咛雾僚伤皤惑醮内细辎勃闾智鲮酶菝肪桔砾分癌玮崧瞄罟耩峁懔系嫂蚌噙套戎被抟铉巛咱岘弱坦砣背凯烦铩篦啶剂宴酢怙圾穹夔恫孓霖逯耶赆揪獾猎鲇誓妨妆暹燮腹褛搐哆馁凌部嫔倍?砦秩芟俎褙佳驷倩蛞噬胃缉稍份蒹揶巅敝妫镢惑缁鲽囟砰辫诮急牦翕樯赭狎寂驸马顽漱潭缚驹町洙偿?缰钆誊闹颊楚佳腱却刖徘蝗诠危近醭毛肼脂斛沉酷槽努段紊貉瘾此龌讲党苌偎止瀛巍潭鲅绁课尚襄翻贪页艽巧5