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因数与倍数
知识框架
一、 约数的概念与最大公约数
0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以(231,252)?3?7?21；
21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)?2?3?6；
32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公约数：1515?600?2285?30?915；30?15?2315；600?315?1285；315?285?130；
0；所以1515和600的最大公约数是15．
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n． 3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；
b即为所求． a二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
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例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以?231,252??22?32?7?11?2772； ②短除法求最小公倍数；
21812例如：396 ，所以?18,12??2?3?3?2?36；
32③[a,b]?a?b． (a,b)2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
b先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；a35[3,5]15?即为所求．例如：[,]?
412(4,12)4?14??1,4?注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：?,???4 ?23??2,3?三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m为A、B的最大公约数，且A?ma，B?mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①A?B?ma?mb?m?mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是A、B、A?B、A?B及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5?6?7?210，210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：6?7?8?336，而6,7,8的最小公倍数为336?2?168
性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，
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即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为23?52?7，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：21000?23?3?53?7，所以21000所有约数的和为 (1?2?22?23)(1?3)(1?5?52?53)(1?7)?74880
此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
重难点
重点：分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并
且灵活运用。
难点：在对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
例题精讲
【例1】 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都
不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
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【例2】 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3
人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？
【例3】 用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。
【例4】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
【例5】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．
【例6】一次考试，参加的学生中有人，那么得差的学生有多少人？
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111得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50723
【例7】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【例8】求在1到100中，恰好有10个约数的所有自然数.
【例9】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?
【例10】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．
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