5.圆周运动

5.圆周运动

［教材习题研讨］ 方法点拨

1.解析：如图6－5－8所示，地球上各点都绕地轴做匀速圆周运动，明确各点做圆周运动时，其每24小时转一周，故角速度都相等. 圆心的位置、半径的大小，是正

确解答本题的关键.不要错误地

认为B点的轨道半径也是R.

图6－5－8

ω=

2πT2π24?3600=

rad/s=7.27×10－5 rad/s

各点在做圆周运动时，其轨道平面与地轴垂直，交点即为圆心.如图，B点做圆周运动的圆心为O′，其半径为r，则

r=Rcos40°

所以，赤道上物体的线速度：

v1=ωR=7.27×10－5×6.4×106 m/s=4.65×102 m/s 位于北京的物体的线速度：

v2=ωr=7.27×10×6.4×10·cos40°m/s=3.56×10 m/s. 答案：角速度都是7.27×10－5 rad/s 线速度分别为4.65×102 m/s、3.56×10 m/s

2.解析：分针转一周，时间为1小时，正好是时针走一大格.因此 ω1∶ω2=12∶1

两者线速度之比：v1∶v2=ω1r1∶ω2r2=14.4∶1.

答案：（1）12∶1 （2）14.4∶1 3.解析：如图6－5－9所示，（1）因为两轮之间不打滑，故在相等时间内，A、B转过的弧长相等，即有vA=vB.又RA=2RB，所以ωA∶ωB=

vBRBvARA2

－5

62

在分析传动装置的线速度、角速度关系时，一定要注意：同

轴的点的角速度相等，两轮边缘上的点的线速度相等.然后利用这两个关系去分析其他量即可.

∶

=1∶2，即v相等时，ω跟r成反比.

图6－5－9

（2）在大轮上，A、C绕共同圆心转动，转一周所用时间相等，因而ωA=ωC.又因为RA=2RC，所以vA∶vC=ωARA∶ωCRC=2∶1，即ω相等时，v与r成正比.

（3）由题可知rC=rB.则

vC∶vB=ωCrC∶ωBrB=ωC∶ωB，又因为ωC=ωA，ωA∶ωB=1∶2，所以

vC∶vB=ωA∶ωB=1∶2

即r相等时，v跟ω成正比.

答案：（1）成反比 （2）成正比 （3）成正比

4.解析：如图6－5－10所示，还需要测量的量是：大齿轮半径R1，与上题相同，都是分析传动小齿轮半径R2，后轮半径R3. 装置中各点的线速度、角速度关

系.

图6－5－10

因为大、小齿轮用链条相连，故轮缘上各点线速度相等.即有ω1R1=ω2R2

又因为小齿轮与后轮同轴，角速度相等，即有 ω2=ω3

所以，后轮轮缘上各点的线速度为 v3=ω3R3=ω2R3=

R1R3R2ω1，此即自行车前进的速度表达式.

答案：见解析 5.解析：（1）如图6－5－11所示

图6－5－11

每个扇区对应的圆心角为θ=

2π18，磁盘的角速度ω=300 r/min=

2π理解“扇区通过磁头所用的

时间”就是磁盘转过一定角度（扇区所对应的角度）所用的时间.此外，要注意统一单位.

10πrad/s，所以，一个扇区通过磁头所用时间t=

（2）磁盘在1 s内转过的角度 θ′=ωt=10πrad 计算机每秒读取的字节数 n=

???10π2π18??1=18=s.

10π90·512=·512=46080.

答案：（1）

190s （2）46080

［教材优化全析］

全析提示

（一）线速度 线速度有大小、有方向，是1.大小：等于做圆周运动的物体通过的弧长Δl与所需时间Δt的比值. 矢量.

?t——时间

3.意义：描述做圆周运动的物体的运动快慢.

4.方向：物体在某一时刻或某一位置的线速度方向就是圆弧上该点的切线方向.

5.瞬时线速度：在公式v=

?l?t2.公式：v=

——通过的弧长 ?l　与曲线运动方向一致. 直线运动中，速度有平均速

度和瞬时速度之分；圆周运动中，

中，如果所取时间间隔Δt很小很小，这

样得到的就是瞬时线速度.如图6－5－1，此时，Δl也就是物体在Δt内的线速度也有平均值和瞬时值之分.

位移AB.因此，瞬时线速度就是直线运动中的瞬时速度.

图6－5－1

6.匀速圆周运动

（1）定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动.

（2）因为线速度大小不变，故弧长与对应时间的比值不变，在数值上反映了瞬时速度的大小.匀速圆周运动的线速度就是它的瞬时速度.

（3）匀速圆周运动是变速运动，故有加速度.所以做匀速圆周运动的物体受的合外力肯定不等于零.

要点提炼

做圆周运动时，线速度的方向在时刻变化，因此它仍是一种变速运动.“匀速”仅指线速度的大小不变.

5.圆周运动

［学习目标导航］ 学习提示

1.理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度，本节重点是理解线速度、角会用线速度大小的公式v=

st进行计算.

?t2.理解角速度的概念，会用公式ω=3.知道周期的概念.

进行计算.

速度的概念及两者的关系；难点

是学会分析传动装置中主动轮、从动轮上各点的线速度、角速度关系.

4.理解线速度、角速度和周期的关系：v=rω=

2πrT.

5.培养学生学会用比较的观点、联系的观点分析问题.

［自主学习互动］

知识链接

1.直线运动中，速度等于 的学习直线运动时，用速度来比值，公式是 . 描述运动的快慢.同样，圆周运动

答案：位移跟发生这段位移所用时间 v=

?x?t

的快慢也用速度来描述.

2.曲线运动中，质点在某一点的速度方向是 .曲线运动中速度的方向时刻在变，所以曲线运动是 .

答案：沿曲线在这一点的切线方向 变速运动

3.在数学中，可以用“弧度”来表示角的大小，它等于 的比值.

答案：弧长与半径

●规律总结

匀速圆周运动的基本知识

1.匀速圆周运动的定义

质点沿圆周运动,如果在相等的时间内通过的弧长相等,这种运动就叫做匀速圆周运动.或者用连接圆心和质点的半径转过的角度定义:质点做圆周运动,如果连接圆心和质点的半径在相等的时间里转过的角度相等,这种运动就叫做匀速圆周运动.

2.描写匀速圆周运动的物理量

(1)线速度:圆周运动的线速度就是它的瞬时速度,匀速圆周运动物体线速度的大小,等于做匀速圆周运动的物体通过的弧长和所用时间的比值,即v=

线速度的方向沿圆周的切线,如图6-5-9所示.

A r vA s ?B vB st,单位:m/s.

O 图6-5-9

匀速圆周运动是速度大小不变的运动,而不是匀速运动,它的速度的方向时刻在变化,严

格地说,应该为匀速率圆周运动.

(2)角速度:连接运动物体和圆心的半径转过的角度与所用时间的比值,叫做匀速圆周运

?动的角速度,即ω=,单位为:弧度/秒,符号是rad/s.

t可见:匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动.

(3)周期:做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期,周期用T表示,单位为秒(s). 周期描写了匀速圆周运动的一个重要特点——时间周期性.其具体含意是,描写匀速圆周运动的一些变化的物理量,每经过一个周期时,大小和方向与初始时刻完全相同.例如线速度以及下节课要讲的向心加速度等.

(4)转速和频率:单位时间内质点转过的圈数,叫做转速,常用符号n表示,单位符号是r/s或r/min,读作转每秒或者转每分;单位时间内完成完整圆周运动的次数叫做频率,用f表示,单位是赫兹,符号是Hz.显然,当单位时间取1 s时,f=n.

3.描写匀速圆周运动的各物理量之间的关系 (1)线速度与角速度的关系:在v=ω=

?tst中取t=T(1个周期的时间),则s=2πr,所以v=,比较可见v=ωr,这个重要的关系也可以由v=

2πrTst;在

中,取t=T,则φ=2π,所以ω=

?rt2πT,s=rφ

推出,即v==ωr.这个关系的意义是线速度的大小等于角速度与半径的乘积.

(2)角速度、周期、频率、转速间的关系 ω=

2πT=2πf=2πn(n为r/s).