数在计算机中的表示方法及编码

数在计算机中的表示方法及编码

计算机中的信息不仅有数据，还有字符、命令，其中数据还有大与小、正数与负数之分。计算机是如何用“0”或“1”，来表示这些信息的呢？

1．计算机中数的表示形式

在计算机中，只有数码1和0两种不同的状态，对于一个数的正、负号，两种不同状态，约定正数的符号用0表示，负数的符号用1表示，将符号位放在数的最左边。例如：N1＝＋1011，N2＝－1011。由于MCS—51为8位单片机，即信息是以8位为单位进行处理的，且每个存贮单元只能存贮—个8位的二进制数，称为一个字节，如果用一个字节（即8位二进制数）来表示上述两个符号数，它们在单片机中可分别表示为：00001011和10001011，其中最高位为符号值，其余位为数值位。

最高位为0表示是正数，最高位为1表示是负数。这种计算机用来表示数的形式叫机器数。而把对应于该机器数的算术值叫真值。

值得注意的是：机器数和真值的面向对象不同，机器数面向计算机，真值面向用户，机器数不同于真值。但真值可以用机器数来表示。

机器数是计算机中表示数的基本方法，机器数通常有原码、反码和补码三种形式。

（1）原码表示方法

用8位二进制数表示数的原码时，最高位为数的符号位，其余7位为数值位。 例如：真值为＋120和－120的原码形式

[＋120]原＝01111000 [－120]原＝11111000

对于零，可以认为它是正零，也可以认为它是负零，所以零的原码有两种表示形式：

[+0]原＝00000000 [-0]原＝10000000

8位二进制数原码表示范围为：11111111～01111111，即－127～＋127。 （2）反码表示方法

在反码表示方法中，正数的反码与原码相同，负数的反码由它对应原码除符

号位之外，其余各位按位取反得到。例如：

[＋120]反＝[+120]原＝01111000 [－120]反＝10000111 零的反码有两种表示方式，即：

[＋0]反＝00000000 [－0]反＝11111111

8位二进制数反码表示范围为：11111111～01111111，即－127～＋127。 （3）补码表示方法

补码的概念：先以钟表对时为例，假设现在的标准时间为5点整，而有一只表却已是7点，为了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退2格，即7－2＝5；一是将时针向前拨10格，即7＋10＝12（自动丢失）＋5，都能对准到5点。可见，减2和加10是等价的，我们把（＋10）称为（－2）对12的补码，12为模，当数值大于模12时可以丢弃12。

在字长为8位的二进制数字系统中，模为28＝256，先看看下例： 01000000 64 01000000 64

＋11110110 ＋246 －00001010 －10 1 00110110 54 1 00l10110 54

由此可见，在字长为8位情况下（64－10）与（64＋246）的结果是相同的，所以（－10）和246互为补数。在补 码表示方法中，正数的补码与原码相同，负数的补码由它对应原码除符号位之外，其余各位按位取反且末位加一得到。例如：

[＋120]补＝[+120]原＝01111000

现在我们看一看（－10）的补码11110110怎样求得。 正数的补码表示方法与原码相同 负数的补码求法：

1）利用反码求补码：反码加1。如： [－10]原＝100010l0 [－10]反＝11110101 [－10]补＝11110110

2）利用原码求补码（直接求补法）：找出原码中数值位的最右边的一个“1”，

将这个“1”以及这个“1”右边各位保持不变，而将这个“1”左边各位按位取反，但符号位不变。如：

[－10]原＝100010l0 [－10]补＝11110110

采用补码表示数，可将减法运算转换成加法运算。在补码表示法中，零的补码只有一种表示法，即 [+0]补＝[-0]补＝00000000。对于八位二进制数而言，补码能表示的数的范围为－128～＋127。

【例1-10】已知X=+1010B，Y=－1010B，写出它们的原码、反码和补码形式。

[+1010B]原＝00001010B [－1010B]原＝10001010B [+1010B]反＝00001010B [－1010B]反＝11110101B [+1010B]补＝00001010B [－1010B]补＝11110110B 2．补码的加减运算

当用补码表示数时，可用加法完成减法运算，因此带符号数一般都以补码形式在机器中存放和参加运算。

补码的运算公式是： [X+Y]补＝[X]补+[Y]补 [X-Y]补＝[X]补+[－Y]补

上述公式表明，补码的“和”等于“和”的补码。也就是说，在进行补码加法运算时，不论相加的两数是正、是负，只要把它们表示成相应的补码形式，直接按二进制规则相加，其结果都应为“和”的补码

已知X的补码，求X的原码时，可以将X的补码当作X原码形式，再求—次补码得到:

[[X]补]补=[X]原。

【例1-11】已知[X]补＝10111010B，求[X]原。 [X]原＝[[X]补]补＝[10111010]补＝11000110B

补码加减运算时，不能保证每次运算结果都是正确，也就是要注意溢出问题。所谓溢出在这里是指：两个带符号数进行运算时，其结果超出补码的表示范围－128～＋127。

【例1-12】已知[X]补＝00111010B，[Y]补＝10011101B，求[X+Y]补。

00111010 58 ＋10011101 －99 11010111 －41 得：[X+Y]补＝11010111B

【例1-13】已知[X]补＝10011011B，[Y]补＝01101001B，求[X+Y]补。 10011011 －101

＋01101001 105

1 00000100 4

得：[X+Y]补＝00000100B （进位发生丢失，不会影响运算结果） 【例1-14】已知[X]补＝11000100B，[Y]补＝10001000B，求[X+Y]补。

11000100 －60 ＋ 10001000 －120

1 01001100 －180

得：[X+Y]补＝1001100B （显然该结果是错误的）

【例1-15】已知[X]补＝01101000B，[Y]补＝00110100B，求[X－Y]补。 [－Y]补＝11001100B

（已知[Y]补，求[－Y]补，只要将连同符号位一起“取反加一” ） 01101000 104

＋11001100 -52

1 00110100 52

得：[X－Y]补＝00110100B 溢出的判断：

（1）法一：双高位判别法

判别数据的最高位与次高位的进位情况，若一致，则无溢出；若不一致，则溢出。

（2）法二：

设有带符号数A、B，其补码[A]补=a0 a1 ? an-1， [B]补=b0 b1 ? bn-1， a0 a1 ? an-1 [A]补

＋b0 b1 ? bn-1 [B]补