20届高考数学(理)二轮复习 第5部分 12+4分项练(五) 解析几何

xy

O在直线＋＝1的下方，

43

x0y0故圆x2＋y2＝1在其下方，即＋<1，故③正确；

43

222

4x20＋3y0≥x0＋y0＝1，

222但4x20＝x0，3y0＝y0不同时成立， 222故4x20＋3y0>x0＋y0＝1，故④成立.

16.(2019·成都诊断)已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则|PF|＋

32

的最小值是________. |AB|

答案 6

解析 设直线l的方程为： y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).

??y＝kx＋1，联立?2化为x2－4kx－4＝0，

?x＝4y，?

可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，

|AB|＝y1＋y2＋p＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4. 1对x2＝4y两边求导可得：y′＝x，

2x1可得切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，

2x2切线PB的方程为y－y2＝(x－x2)，

211

联立解得x＝(x1＋x2)＝2k，y＝x1x2＝－1.

24∴P(2k，－1). ∴|PF|＝4k2＋4. ∴|PF|＋

3232

＝4k2＋4＋2， |AB|4k＋4

令4k2＋4＝t≥2. 则|PF|＋

3232

＝t＋2＝f(t)， |AB|t

2

64?t－4??t＋4t＋16?

f′(t)＝1－3＝，

tt3当t>4，f′(t)>0；2≤t<4，f′(t)<0，

可得t＝4时，函数f(t)取得极小值即最小值f(4)＝6. 当且仅当k＝±3时取等号.