2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2模块综合检测(一)

S△OBCS四边形ABOC

＝1－＝，

S△ABCS△ABCAOBOCO所以＋＋

AA′BB′CC′S△OBC＋S△OAC＋S△OAB

＝3－ S△ABCS△ABC

＝3－＝2.

S△ABC

根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD中， AOBOCODO

＋＋＋ AA′BB′CC′DD′

VO-ABD＋VO-ACD＋VO-ABC＋VO-BCD

＝4－ VA-BCDVA-BCD＝4－＝3.

VA-BCD答案：2 3

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)

15．(本小题满分12分)已知F(x)＝(1)求F(x)的单调区间； (2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．

132?x?t－2t解：F(x)＝? (t－4t)dt＝?3??1 －1?－1t(t－4)dt，x∈(－1，＋∞)．

xx2

11

－－2? ＝x3－2x2－??3?317

＝x3－2x2＋(x>－1)． 33(1)F′(x)＝x2－4x，

由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－14； 由F′(x)<0，即x2－4x<0，得0

172

(2)由(1)知F(x)在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F(1)＝－2＋＝，

3331725

F(4)＝×43－2×42＋＝－，

33317

F(5)＝×53－2×52＋＝－6，

33

225∴F(x)在[1,5]上的最大值为，最小值为－.

33

11

16．(本小题满分12分)在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：2＝2＋ADAB1

.那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

AC2证明：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，

∴

11

2＝ADBD·DC

BC2BC2

＝＝. BD·BC·DC·BCAB2·AC2又∵BC2＝AB2＋AC2，

AB2＋AC2111∴2＝， 22＝2＋ADAB·ACABAC2∴

111

. 2＝2＋ADABAC2类比题中结论猜想：在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则

1111

. 2＝2＋2＋AEABACAD2如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD， ∴AB⊥AF.

在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴

111. 2＝2＋AEABAF2

在Rt△ACD中，AF⊥CD， 111∴2＝2＋2， AFACAD

1111

∴2＝2＋2＋2，故猜想正确． AEABACAD

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x(a∈R)． (1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

1

(2)若x＝是函数f(x)的极值点，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数

3f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax－3， ∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0， a

∴－≤1，且f′(1)＝2a≥0，

3∴a≥0，

故实数a的取值范围为[0，＋∞)． 1?(2)由题意知f′??3?＝0， 12a

即＋－3＝0， 33∴a＝4，

∴f(x)＝x3＋4x2－3x.

若函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3＋4x2－3x＝bx恰有3个不等实根．

∵x＝0是其中一个根，

∴方程x2＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根，

??Δ＝16＋4?3＋b?>0，∴? ??－?3＋b?≠0，

∴b>－7，且b≠－3，

∴满足条件的b存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．

18．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(1)求a2，a3，a4；

(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 111

解：(1)由an＋1＝可得a2＝＝，

2－an2－a12－a2－a11

a3＝＝＝，

2－a22－13－2a

2－a1a4＝＝

2－a3

3－2a1

＝. 2－a4－3a

1. 2－an

2－

3－2a

?n－1?－?n－2?a

(2)推测an＝.

n－?n－1?a下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，左边＝a1＝a，

?1－1?－?1－2?a右边＝＝a，结论成立．

1－?1－1?a②假设n＝k(n∈N*)时等式成立， ?k－1?－?k－2?a

有ak＝，

k－?k－1?a则当n＝k＋1时， ak＋1＝

11＝ 2－ak?k－1?－?k－2?a

2－

k－?k－1?a

k－?k－1?a

＝ 2[k－?k－1?a]－[?k－1?－?k－2?a]k－?k－1?a＝， ?k＋1?－ka

故当n＝k＋1时，结论也成立．