2005年 上海高考数学试题及答案 (理科)

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.

23n在直角坐标平面中，已知点P1?1,2?,P22,2,P33,2,?,Pnn,2，其中n是正整数，对平面上任一点A0，

??????记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，．．．，An为An?1关于点Pn的对称点.

（1）求向量A0A2的坐标；

（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y?f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期

函数，且当x??0,3?时，f(x)?lgx.求以曲线C为图象的函数在?1,4?上的解析式；

（3）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标.

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

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数学（理）参考答案

一、（第1题至第12题）

y212?1 1．4?1 2．x=0 3．x+2y－4=0 4．? 5．x?92x6．(x?1)?y?4 7．3 8．

22315 9．3 10．1?k?3 7411．0?a?15 12．－1080 3二、（第13题至16题） 13.A 14.B 15.B 16.C 三、（第17题至第22题）

17．[解法一]由题意AB//CD，??C1BA是异面直线BC1与DC所成的角.

连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得AC?5，

又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.

在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H， 得?CHB?90?,CH?2,HB?3,?CB?13

又在Rt?CBC1中，可得BC1?17，

AB2?BC12?AC12317317在?ABC1中,cos?ABC1??,??ABC1?arccos.

2AB?BC11717∴异而直线BC1与DC所成角的大小为arccos317. 17[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直

角坐标系.

则C1（0，1，2），B（2，4，0） ?BC1?(?2,?3,2),

CD?(0,?1,0),设BC1与CD所成的角为?，

则cos??BC1?CD|BC1||CD|?317317.??arccos, 1717

∴异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos317. 17218．[证明]原方程化简为|z|?(1?i)z?(1?i)z?1?3i.

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

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设z?x?yi (x、y?R)，代入上述方程得x?y?2xi?2yi?1?3i.

22?x2?y2?1???2x?2y?3(1)2 将（2）代入（1），整理得8x?12x?5?0. (2)????16?0,?方程f(x)无实数解，∴原方程在复数范围内无解.

19．[解]（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）

设点P的坐标是(x,y),则AP?{x?6,y},FP?{x?4,y}，由已知得

?x2y2?13??2则2x?9x?18?0,x?或x??6. 3620?2?(x?6)(x?4)?y2?0?由于y?0,只能x?3535,于是y?3,?点P的坐标是(,3). 2222（2）直线AP的方程是x?3y?6?0.

设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是

于是

|m?6|， 2|m?6|?|m?6|,又?6?m?6,解得m?2, 2椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

549d2?(x?2)2?y2?x2?4x?4?20?x2?(x?)2?15,

9929由于?6?x?6,?当x?时,d取得最小值15.

220．解：（1）设中低价房面积形成数列?an?，由题意可知?an?是等差数列，

其中a1=250，d=50，则 Sn?250n?22n(n?1)?50?25n2?225n, 2令25n?225n?4750, 即n?9n?190?0,而n是正整数,?n?10. ∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，

－

其中b1=400，q=1.08， 则bn=400·(1.08)n1

由题意可知an?0.85bn

有250+(n－1)50>400 · (1.08)n1 · 0.85.

由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，

∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

－

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

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?x2?21．解（1）h(x)??x?1?1?x?(??,1)?(1,??)x?1

x21?x?1??2. （2）当x?1时,h(x)?x?1x?1若x?1,则h(x)?4,其中等号当x=2时成立， 若x?1,则h(x)?0,其中等号当x=0时成立， ∴函数h(x)的值域(??,0]?{1}?[4,??) （3）[解法一]令f(x)?sin2x?cos2x,??则g(x)?f(x??)?sin2(x??4,

?)?cos2(x?)?cos2x?sin2x, 44?于是h(x)?f(x)?f(x??)?(sin2x?cos2x)(cos2x?sin2x)?cos4x.

[解法二]令f(x)?1?2sin2x,??则g(x)?f(x??)?1?2sin2(x?于是h(x)?f(x)?f(x??)?(1??2，

?2)?1?2sin2x,

2sin2x)(1?2sin2x)?1?2sin22x?cos4x.

22．[解]（1）设点A0(x,y)，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1(2?x,4?y),

A1关于点P2的对称点A2的坐标为A2(2?x,4?y)，所以，A0A2?{2,4}. （2）[解法一]?A0A2?{2,4},?f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移

4个单位得到.

因此，曲线C是函数y?g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数，且当

x?(?2,1]时,g(x)?lg(x?2)?4,于是,当x?(1,4]时,g(x)?lg(x?1)?4.

[解法二]设A0(x,y),A2(x2,y2),于是??x2?x?2

?y2?y?4若3?x2?6,则0?x2?3?3,于是f(x2)?f(x2?3)?lg(x2?3).

(?1)?4. 当1?x?4时,则3?x2?6.y?4?lg(x?1), ?当x?{1,4]时,g(x)?lgx（3）A0An?A0A2?A2A4???An?2An

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