数理统计概率和抽样定理复习

数理统计复习

一、 概率论部分

1、 事件间的运算关系：

关系 符号 包含 相等 和(并) 积(交) 差 互不相容 对立

2、事件的运算规律

运算律 交换律 结合律 分配律 差积转换律 对立律 对偶律

互不相容与对立事件的关系

公式 A+B=B+A，AB=BA (A+B)+C=A+(B+C)，(AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC，A+(BC)=(A+B)(A+C) 概率论的定义 事件A发生必然导致事件B发生 A?B A=B A?B而且B?A A+B(A∪B) 事件A与B中至少一个事件发生 AB(A∩B) 事件A与B同时发生 A－B AB=? A 事件A发生同时B不发生 事件A与B不可能同时发生 事件A不发生 A?B?AB?A?AB AA=?，A+A=Ω A?B?AB，AB?A?B 概率的定义

类型 古典概率 公理化定义 定义公式 mA所含的基本事件数?P(A)= n基本事件总数对样本空间中任意事件A对应的一个实数P(A)，满足 (基本性质) 公理1（非负性）：0≤P(A)≤1 公理2（规范性）：P(?)＝1，P(?)＝0 公理3（可加性）：若A1,A2, …,An,…, 两两互不相容， P(A1+A2+…+An+…)= P(A1)+ P(A2)+ … + P(An)+ … 则称P(A)为随机事件A的概率。

（五）概率的计算公式

名称 加法公式 计算公式 P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB) 若A、B互不相容（AB=?）：P(A+B)=P(A)+P(B) 对立事件公式 P(A)=1－P(A)；P(A) =1－P(A) 事件之差公式 P(A－B)= P(A)－P(AB) 若B?A, P(A－B)= P(A)－P(B) P(AB), (P(A)>0) P(A)条件概率公式 P(B|A)?若P(A)>0, P(AB)=P(A)P(B|A) 若P(B)>0, P(AB)=P(B)P(A|B) 乘法公式 当P(A1A2…An-1)>0时，有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) …P(An|A1A2…An-1) A、B相互独立：P(AB)=P(A)P(B) 独立事件公式 A1, A2, …, An相互独立：P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An) 若A1, A2, …, An为完备事件组，对事件B 全概率公式 P?B???P(Ai)P(B|Ai) i?1n逆概率公式 若A1, A2, …, An为完备事件组，P(B)>0 （贝叶斯公式） 完备事件组 P(Aj)P(B|Aj) P(Aj|B)?n?P(Ai)P(B|Ai)i?11. A1, A2, …, An互不相容且P(Ai)>0(i=1, 2, …, n)； {A1, A2, …, 2. A1+A2+…+An= ? An}

独立与互不相容的关系

二、 随机变量及其函数分布

1、 随机变量的定义

2、 离散型随机变量：概率分布列及其性质，分布函数，求事件概率，一些

特殊的离散型随机变量及其分布，随机变量函数的概率分布列 3、 连续型随机变量：密度函数及其性质，分布函数，求事件概率，一些特

殊的连续型随机变量及其密度函数，特殊的，正态分布的所有性质，及其总体是正态分布的事件概率的计算。

4、 数字特征：期望，方差及其性质和计算，随机变量函数的期望和方差；

协方差，相关系数及其性质和计算，熟记特殊分布的期望和方差 5、 二维离散型随机向量：联合概率分布列，边缘分布，独立性的判断，求

事件的概率，求各自的期望，方差。

习题

1、设连续型随机变量X的分布函数为

x??2?F(x)??A?Be, x?0

? x?0?0, 求：（1）常数A、B；（2）概率密度函数f(x)。 解：（1）由分布函数的性质F(+∞)=1得

F(+∞)=lim(A?Be)?A?1，

x????x2再由分布函数的连续性知其右极限F(0+0)= F(0),即

F(0+0)=lim(A?Be)?A?B?0

x?0?0?x2联立上述两式，解之得：A =1, B =﹣1。

则分布函数为

x??2?F(x)??1?e, x?0

? x?0?0, （2）所求密度函数为

x?1?2?e, x?0。 f(x)?F?(x)??2?0, x?0?

2、设随机变量?在区间[1，6]上服从均匀分布，求方程x2 +? x + 1 = 0有实根的概率。

解：易知方程x2 +? x + 1 = 0有实根当且仅当Δ=?2－4≥0，即|?|≥2。故所求问题转化为：已知?～U[1，6]，求P{|?|≥2}。

现因?在[1，6]上服从均匀分布，则?的概率密度为

?1?, 1?x?6,f(x)??5

?其他.?0, 方程x2 +ξx + 1 = 0有实根的充要条件是Δ=?2－4≥0，即|?|≥2，故

P{??2}?1?P{??2}?1?P{?2???2}

?1??f(x)dx?1?(?0dx???2?22121114dx)?1?? 5553、 设随机变量X和Y独立，且X服从均值为1，标准差为2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z = 2X－Y + 3的概率密度函数。

由于X和Y相互独立且都服从正态分布，所以Z作为X，Y的线性组合也服从正态分布，故只需求E(Z)和D(Z)就可确定Z的概率密度函数了。 由题设知，X～N（1，2），Y～N（0，1）。则由期望和方差的性质得 E(Z) = E(2X－Y + 3)=2E(X)－E(Y) +3 = 5， D(Z) = D(2X－Y + 3) = 22D(X) +D(Y) = 9.

又因X，Y是相互独立的正态随机变量，Z是X，Y的线性函数，故Z也

为正态随机变量，即Z～N (?, ?2)，且

?= E(Z)=5, ?= D(Z)=9。

2

则Z的概率密度为

抽样定理

1．设总体X～N（μ, ?2），其中μ，?2为已知数，X1，X2，…，Xn来自X的一个样本，X，S2分别是样本均值和方差，且相互独立，则样本均值X～分布，

?n?1?SX??而统计量～分布，统计量～分布，统计量～分布。 2?S/n?/nX??2 2．设x1，x2，…，x20是来自N(10, 1)的一个简单样本, x是其样本均值，则x服从分布，E(x)=，D(x)=；P{x＞10}= 。

3. 设随机变量X和Y相互独立而且都服从正态分布N(0, 32),而X1，X2，…，X9和Y1，Y2，…，Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量

U?X1???X9Y???Y2121

服从分布，参数为。

4．设Q，U是两个相互独立的随机变量，并且已知

Q?其中?2为常数，则

2~?2(n?p?1), U?2~?2(p)，

(n?p?1)UQU服从分布；2?2服从分布。 pQ??2. （2003年考研题）设随机变量X～t(n)（n>1），Y? A. Y~?2(n) B. Y~?2(n?1) C. Y~F(n,1) D. Y~F(1,n)

1，则 X2