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（复——习解二三）角 形 专业资料 值得拥有无忧数学
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解三角形
一.正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，
abc即 ???2R（其中R是三角形外接圆的半径）
sinAsinBsinCa?b?cabc2.变形：1）． ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC 2）化边为角：a:b:c?sinA:sinB:sinC；
asinAbsinBasinA?; ?; ?; bsinBcsinCcsinC 3）化边为角：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
sinAasinBbsinAa?; ?;?; sinBbsinCcsinCcabc 5）化角为边： sinA? ,sinB?,sinC?2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a，
asinAbsinBasinA; ?; ?;求出b 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理?bsinBcsinCcsinC与c
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A,
asinA 解法：由正弦定理?求出角B,由A+B+C=180o 求出角C，再使用正弦定理
bsinBasinA?求出c边 csinC
4.△ABC中，已知锐角A，边b，则 ①a?bsinA时，B无解； b bsinA ②a?bsinA或a?b时，B有一个解； ③bsinA?a?b时，B有两个解。 A 4）化角为边：
如：①已知A?60?,a?2,b?23,求B(有一个解) ②已知A?60?,b?2,a?23,求B(有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
二.三角形面积
1111.S?ABC?absinC?bcsinA?acsinB
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2. S?ABC?3. S?ABC4. S?ABC1(a?b?c)r,其中r是三角形内切圆半径. 21?p(p?a)(p?b)(p?c), 其中p?(a?b?c),
2abc,R为外接圆半径 ?4R5.S?ABC?2R2sinAsinBsinC,R为外接圆半径
三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC
b2?c2?a22.变形：cosA?
2bca2?c2?b2 cosB?
2aca2?b2?c2 cosC?
2ab注意整体代入，如：a2?c2?b2?ac?cosB?1 23．利用余弦定理判断三角形形状：
设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：
①若，，所以
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②若c2?b2?a2?A为直角③若 专业资料 值得拥有所以
为锐角
，
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