(完整word版)高中数学解析几何解题方法

高中解析几何复习资料

(?m)2(?3m)2213213?m???1，得? 交点在椭圆内，则有。 131343（7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k1·k2?y1·y2??1来处理或用向量的坐标运算来处理。

x1·x22典型例题 已知直线l的斜率为k，且过点P(?2,0)，抛物线C:y?4(x?1)，直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。

（1）求k的取值范围；

（2）直线l的倾斜角?为何值时，A、B与抛物线

相垂直。

y 分析：（1）直线y?k(x?2)代入抛物线方程得 B 2222kx?(4k?4)x?4k?4?0， A P 由??0，得?1?k?1(k?0)。 (-2,0) O x 24k?4 （2）由上面方程得x1x2?， 2C的焦点连线互

k y1y2?k(x1?2)(x2?2)?4，焦点为O(0,0)。 由kOA·kOB2y1y22k2，??2??1，得k??2x1x2k?12 2??arctan22或????arctan

B:解题的技巧方面

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

（1）充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

典型例题 设直线3x?4y?m?0与圆x?y?x?2y?0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP?OQ，求

22m的值。

解： ?圆x?y?x?2y?0过原点，并且OP?OQ，

22

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?PQ是圆的直径，圆心的坐标为M(? 又M(?1，1) 21，1)在直线3x?4y?m?0上， 215 ?3?(?)?4?1?m?0，?m??即为所求。

22 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OP?OQ，PQ是圆的直径，圆心在直线3x?4y?m?0上，而是设P(x1，y1)、Q(x2，y2)再由OP?OQ和韦达定理求m，将会增大运算量。

评注：此题若不能挖掘利用几何条件?OMP?90?，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，

计算量将很大，并且比较麻烦。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线y?x?1相交于P、Q两点，且OP?OQ，|PQ|?求此椭圆方程。

解：设椭圆方程为ax?by?1(a?b?0)，直线y?x?1与椭圆相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点。

2210，2?y?x?1 由方程组?2消去y后得 2ax?by?1?(a?b)x2?2bx?b?1?0

2bb?1

?x1?x2??，x1x2?a?ba?b 由kOP?kOQ??1，得y1y2??x1x2 （1） 又P、Q在直线y?x?1上，

(2)?y1?x1?1，? ?y2?x2?1， (3)?y1y2?(x1?1)(x2?1)?x1x2?(x1?x2)?1 把（1）代入，得2x1x2?(x1?x2)?1?0， 即

2(b?1)2b??1?0

a?ba?b 化简后，得

a?b?2 （4） 由|PQ|?10522，得(x1?x2)?(y1?y2)? 22

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55，(x1?x2)2?4x1x2?，44

2b24(b?1)5()??a?ba?b4?(x1?x2)2? 把（2）代入，得4b2?8b?3?0，解得b?13或b? 2231

或a? 2231 由a?b?0，得a?，b?。

22 代入（4）后，解得a?

3x2y2??1 ?所求椭圆方程为22 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

三. 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C1：x?y?4x?2y?0和C2：x?y?2y?4?0的交点，且圆心在直线l：

22222x?4y?1?0上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

x2?y2?4x?2y??(x2?y2?2y?4)?0

即(1??)x?(1??)y?4x?2(1??)y?4??0，

222??1） ，1????12??11

又C在直线l上，?2??4??1?0，解得??，代入所设圆的方程得x2?y2?3x?y?1?0为

1????13

其圆心为C（

所求。

评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。

x2y2典型例题 P为椭圆2?2?1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值

ab及此时点P的坐标。

五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y?kx?b代入圆锥曲线方程中，得到型如

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△，若ax2?bx?c?0的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为△，则|AB|?1?k2·|xA?xB|?1?k2·|a|直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例 求直线x?y?1?0被椭圆x?4y?16所截得的线段AB的长。

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

22x2y2??1的两个焦点，AB是经过F1的弦，若|AB|?8，求值|F2A|?|F2B| 例 F1、F2是椭圆

259③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线y?4x的焦点，点P在抛物线y?4x上移动，若|PA|?|PF|取得最小值，求点P的坐标。

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