《2.2.2 空间向量的数量积(1)》教学案

《2.2.2 空间向量的数量积（1）》教学案

教学目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养

积极进取的精神．

教学过程 学生探究过程：

(一)复习：空间向量及其运算； (二)新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA?aO,B?b，则?AOB叫做向量a与b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；

若?a,b???2，则称a与b互相垂直，记作：a?b；

2．空间向量数量积的性质：

(1)a?e?|a|cos?a,e?． (2)a?b?a?b?0． (3)|a|?a?a．

23．空间向量数量积运算律：

(1)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)． (2)a?b?b?a(交换律)．

(3)a?(b?c)?a?b?a?c(分配律)．

(三)例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与平面?的交点为B，且l?m,l?n 求证：l??．

证明：在?内作不与m,n重合的任一直线g， 在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交， ∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对(x,y)，使g?xm?yn， ∴l?g?xl?m?yl?n，又∵l?m?0,l?n?0， ∴l?g?0，∴l?g，∴l?g，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l??．

例2．已知空间四边形ABCD中，AB?CD，AC?BD，求证： AD?BC． 证明：(法一)AD?BC?(AB?BD)?(AC?AB) ?AB?AC?BD?AC?AB?AB?BD ?AB?(AC?AB?BD)?AB?DC?0． (法二)选取一组基底，设AB?a,AC?b,AD?c， ∵AB?CD，∴a?(c?b)?0，即a?c?b?a， 同理：a?b?b?c，， ∴a?c?b?c，

∴c?(b?a)?0，∴AD?BC?0，即AD?BC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

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