第1讲 走进美妙的数学殿堂 - 图文

第一讲 走进美妙的数学殿堂

从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响，数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系．

走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念；

走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；

走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息；

走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知．

诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构．”

例题

【例1】 (1)我们平常用的数是十进制数，如2639＝2×103+6×102+3×10＋9，表示十进制的数要用10个数的数码(又叫数字)：0，1，2，3，??9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中101＝1× 22+0× 21+1等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数 ．(浙江省金华市中考题)

(2)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大．吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”．满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方．再相加。得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和??．重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称之为数字“黑洞”． (青岛市中考题)

思路点拨 (1)从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、进制值有关联的和的形式；(2)从一个具体的数操作，发豌规律．

【例2】 A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时．统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、l场球，则还没有与B队比赛的球队是( )． (第18后江苏茁竞赛题)

A．C队 B．D队 C．L，队 D．F队

思路点拨 用算术或代数方法解，易陷入困境．用6个点表示A、B、C、D、E、F这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线。这样用图来辅助解题，形象而直观．

【例3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、平行四边形三种废塑料板若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块，恰好拼成了一个矩形(如图①．后来，又用它们分别拼出了X、Y、Z等字母模型(如图②，图③，图④)，如果每块塑料板保持图①的标号不变，请你参与：

(1)将图②中每块塑料板对应的标号填上去；

(2)图③中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号，

(3)在图④中，请你适当画线，找出7块塑料板，并填上标号．

(2002年烟台市中考题)

思路点拨 动手实验、操作．从对图形分割人手． 链接 数与形，以及数和形的关联与转化， 这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数 与形的恰当结合，常有助于问题的解决．

【例4】 根据图①和图②回答问题：

(1)1997年与2000年相比，产值比重减少最多的是哪个产业?

(2)假定2000年光机电一体化的产值是1997年的2倍，那么2000年高新技 术产业工业总产值比1997年增长率是多少?

(3)2000年与1997年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业? (2003年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题) 思路点拨 从给定的扇形统计图表中获取信息，须注意的是扇形统计图表示的是某一部分占总体的百分比(或称某一部分的比重)，因此，需要引入字母表示某种产值的具体数额，【例5】 一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和是1999，求这个四位数，并说明理由． (重庆市竞赛题)

思路点拨 设所求的四位数为abcd，由题意可得关于a、b、c、d的一个等式，运用估算、讨论、枚举等方法，分别求出a、b、c、d的值．

注：解与整数相关的问题，常常要用到“估算”这种重要方法．运用估算是在解决问题的过程中，合理运用缩放、近似等方法简化计算的一种算法，运用估算往往能使我们更迅速地接近正确目标． 链接

阅读是人们吸取知识的主要手段和认识世界的重要途径．现代及未来社会要求人们具有的阅读能力已不再只是语文阅读能力，而是一种以语文阅读能力为基础，包括外语阅读能力、 数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力．

读数学书，要边读书边思考．对于概念，要抓住关键词句推敲，从概念间的相互联系中去掌握概念；对于公式、法则、性质等，要思考结论的准确意思、公式成立的条件、适用的范围；对于例题，要自己先动手做一做，再与书上的解答对照，找出知识上的缺陷、错误，并从中总结适用知识的规律．

学力训练

1．观察下列顺序排列的等式：

9×0十1＝1，9×1+2=11， 9×2+3＝21， 9×3+4＝31， 9× 4+5=4l， 猜想：第年n个等式应为 ． (2003年北京市中考题) 2．如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20 (即n=20)时，需要的火柴棍总数为 根． (河北省中考题)

3．世界杯中，中国男足与巴西、土耳其、

哥斯达黎加队同分在C组。赛前，50名球迷就C组哪支球队将以小组第二名进入十六强进仃猜测，统计结果则图，认为中国队将以小组第二名的身份进入十六强的人数占的百分比

为 ．( “希望杯”邀请赛试题) 4．自然数a、b、c、d、e都大于1，其乘积abcde?2000，则其和a?b?c?d?e的最大值为 ，最小值为 ． 5．若一个正整数a被2，3，?，9这八个自然数除，所得的余数都为l，则a的最小值是 ，a的一般表达式为为 ．

6．3个质数p、q、r满足p?q?r，且p?q，那么p等于( )．

A．2 B．3 C 7 D．13 (第18后江苏省竞赛题) 7．如果有2003名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，l，2，3，4，3，2，?的规律报数，那么第2003名学生所报的数是( )．

A． 1 B．2 C．3 D．4

8．如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片(同一个直 角三角形的两条直角边不相等)，把两个三角形相等的边靠在 一起(两张纸片不重叠)，可以拼出若干种图形，其中，形状不同 的四边形有( )．

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

9．下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是( )．

10．设“●”、“▲”、“曰”表示三种不同的物体，用天平比较 它们质量的大小，两次情况如图所示，那么●、▲、■这 三种物体按质量从大到小的顺序排列应为( )．

A．■、●、▲ B．■、▲、●、 C．▲、●、■ D．▲、■、● (江西省中考题)

│

11．用一个两位数去除2003，余数是8，这样的两位数有 个，其中最大的两位数是 ．

12．如果a、b是任意2个不等于零的数，定义运算※如下(其余符号意义如常)：

a2a※b=，那么[1※（2※3）] 一[（1※2）※3]的值是 ．

b13．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为成两个面积为去

．

试

1的矩形分2111的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下448利

用

图

形

揭

示

的

规

律

计

算

：

11111111???????? ． 248163264128256 (南宁市中考题)

14．观察下图，三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱??由此可推测n棱柱有(n+2)个面 个顶点 条棱．

15．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份

比二月份减少10％，那么三月份比一月份( )．

A．增加10％ B．减少10％ C．不增不减 D．减少1％ (河南省中考题)

16．三进位制数201可用十进位制数表示为2×32+0×31+1＝2×9+0+1＝19； 二进位制数1011可用十进位制数表示为1×23+0×22+1×2+1＝8+0+2+1=11．现有三进位制数a=221，二进位制数＝10111，则a与b的大小关系为( )．

A．a>b B．a=b C．a

17．某学生骑白行车上学，开始以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟．为了按时到校，他加快了速度，但仍然保持匀速行进，结果准时到校．他骑自行车行进的路程s与行进的时间t的关系有如下四种示意图，其中正确的是( )．