(浙江专用)2020高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第3讲 基本初

第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题

指数、对数的运算 [核心提炼]

指数与对数式的七个运算公式 (1)a·a＝amnmnm＋n；

(2)(a)＝a；

(3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)loga＝logaM－logaN； (5)logaM＝nlogaM； (6)alogaN＝N； logbN(7)logaN＝.

logba注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.

[典型例题]

(1)(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log83＝p，log35＝q，则lg 5(用p、

nmnMNq表示)等于( )

A.C.3p＋q 53pq 1＋3pqxyzB.

1＋3pq p＋q2

2

D．p＋q

(2)设x，y，z为正数，且2＝3＝5，则( ) A．2x<3y<5z C．3y<5z<2x

B．5z<2x<3y D．3y<2x<5z

5ba(3)已知a>b>1.若logab＋logba＝，a＝b，则a＝________，b＝________．

2【解析】 (1)因为log83＝p， 所以lg 3＝3plg 2，又因为log35＝q， 所以lg 5＝qlg 3，

所以lg 5＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)， 3pq所以lg 5＝，故选C.

1＋3pq(2)设2＝3＝5＝k>1，

所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.

xyz - 1 -

232logk3－3logk2logk3－logk2

因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝

logk2logk3logk2·logk3logk2·logk39

logk8

>0，

logk2·logk3

所以2x>3y；

353logk5－5logk3logk5－logk3

因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝

logk3logk5logk3·logk5logk3·logk5125

logk243

<0，

logk3·logk5

所以3y<5z；

252logk5－5logk2logk5－logk2

因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝

logk2logk5logk2·logk5logk2·logk525

logk32

<0，

logk2·logk5

所以5z>2x.

所以5z>2x>3y，故选D.

515

(3)由于a>b>1，则logab∈(0，1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab2logab21

12b2b2ba2

＝或logab＝2(舍去)，所以a2＝b，即a＝b，所以a＝(b)＝b＝b，所以a＝2b，b＝2b，2所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.

【答案】 (1)C (2)D (3)4 2

(1)指数幂的运算性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定． (2)求解对数式运算的关键是：熟记对数恒等式、换底公式的运算法则，并结合代数式的各种变换技巧，如配方、因式分解、分母或分子有理化、拆项、添项、换底公式的运用等，简化对数运算过程．

(3)容易出现的问题是误用指数幂的运算法则、对数的运算性质，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等．

[对点训练]

1．若a＝log43，则2＋2＝________． 1

解析：因为a＝log43＝log223＝log23＝log23，

2

a－a2

5

3

5

23

- 2 -

所以2＋2＝2log23＋2－log23＝3＋2log243答案：

3

a－a3343＝3＋＝. 333

11

2．(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a，b满足log2a＝log5b＝lg(a＋b)，则＋的值

ab为________．

解析：设log2a＝log5b＝lg(a＋b)＝k， 所以a＝2，b＝5，a＋b＝10，所以ab＝10， 11

所以a＋b＝ab，则＋＝1.

kkkkab答案：1

基本初等函数的图象及性质

[核心提炼]

指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y＝a(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0

xa>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0

为减函数．

[典型例题]

1?1? (1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝x，y＝loga?x＋?(a>0，且a?2?

a≠1)的图象可能是( )

(2)P为曲线C1：y＝e上一点，Q为曲线C2：y＝ln x上一点，则|PQ|的最小值为________． 1?1?【解析】 (1)通解：若0

a?2?1?1??1?过点?，0?，结合选项可知，选项D可能成立；若a>1，则y＝x是减函数，而y＝loga?x＋?a?2??2?

x?1?是增函数且其图象过点?，0?，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.

?2?

1

优解：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知

2选D.

- 3 -

(2)因为曲线y＝e与曲线y＝ln x互为反函数，其图象关于y＝x对称， 故可先求点P到直线y＝x的最近距离d， 设曲线y＝e上斜率为1的切线为y＝x＋b， 因为y′＝e，由e＝1，得x＝0， 故切点坐标为(0，1)，即b＝1， 所以d＝

11＋1

＝2， 2

2

＝2. 2

xxxx所以|PQ|的最小值为2d＝2×【答案】 (1)D (2)2

研究指数、对数函数图象应注意的问题

(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．

(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln(x－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件．

[对点训练]

2

2

?1?|x|

1．当x∈R时，函数f(x)＝a始终满足0＜|f(x)|≤1，则函数y＝loga??的图象大致为

x??

( )

解析：选B.因为当x∈R时，函数f(x)＝a始终满足0＜|f(x)|≤1.因此，必有0＜a＜1.

先画出函数y＝log a|x|的图象，如图．

|x|

?1?而函数y＝log a??＝－log a|x|，如图． x??

故选B.

?－x＋2x(x≤0)，

2．(2019·四川胜读九校联考)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax恒

(x＋1)（x>0），?ln

2

- 4 -