概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第9页 (共62页)

(1) P(X=6) =

P(X=6) =

?kk!e???kk!e??46?4?e?0.104或者 6!?4k?4?4k?4??e??e= 0.21487 – 0.11067 = 0.1042. k?6k!k?7k!?4k?44k?4(2) P(X≤10)??e?1??e?1?0.00284 = 0.99716

k?0k!k?11k!10

9. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4) 解 由已知可得，

?11!2!解得λ=2， (λ=0不合题意)

24?2= 0.09

因此,P(X?4)?e4!e????2e??,

10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃

瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.

解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此

32?3 (1) P(X=2) ?e?0.224

2!k3(2)P(X?2)?1?P(X?2)?1??e?3?1?0.8008?0.1992 k?2k!?3k?3(3)P(X?2)?P(X?2)??e?0.5768

k?3k!?3k?3(4)P(X?1)??e?0.9502

k?1k!

11. 设连续型随机变量X的分布函数为

x?0?0,?F(x)??kx2,0?x?1

?1,x?1?求：（1）系数k；（2）P(0.25

F(x)=P(X≤x)=P(X<0)+P(0≤X≤x)=kx2 又F(1) =1, 所以k×12=1

?因此k=1.

(2) P(0.25

?2x,0?x?1 f(x)?F'(x)??0,Other? (4) 由(2)知，P(0.25

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第10页 (共62页)

3 P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} = C40.53(1?0.5)4?3?0.25.

12. 设连续型随机变量X的密度函数为

k?,x?1? F(x)??1?x2?0,x?1?1?；求：（1）系数k；（2）P?X???（3）X的分布函数. 2??解 (1)由题意，

?????f(x)dx?1, 因此

?????f(x)dx??11?1?k1?x2d?x1akrcsinx??k?1?1

解得: k? (2) P?x????1/21?????11?1/2k1?dx?arcsinx???? ???1/2?2?1/2??66?32??1?x (3) X的分布函数

?0x?F(x)??f(x)dx??1/2?arcsinx/? ???1?解得: k?1/?

x??1?1?x?1x?1

13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z表示每天的耗电率(即用电量除以100万

千瓦时)，它具有分布密度为

?12x(1?x)2,0?x?1 F(x)??其他?0,若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？

解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=?12x(1?x)2dx?0.0272

0.81 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=?12x(1?x)2dx?0.0037

0.91

14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分

布，分布密度为

x?1600e,0?x ?F(x)??600?0,0?x?试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.

解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A={X≤200}，则

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x1??1600 P(A)=

?0600edx?1?e3

设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：

2001 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?CP(A)?(1PA())??1e3(? )?1e

215. 设X为正态随机变量，且X～N(2，?)，又P(2

?2?2X?24?2??2? P(2?X?4)?P 3??????00.???????????????030?30?13即???2???0.3?0.5?0.8 ???X?20?2???2??2?故 P(X?0)?P?????????1?????0.2

??????????

16. 设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X－10|

?aX?10a? 解 由于P?|X?10|?a??P??a?X?10?a??P??????222??a???a??a?????????2?????1?0.9

?2??2??2??a?所以????0.95

?2?a 查表可得， =1.65

2即 a = 3.3

17. 设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X在范围(10.05

±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率. 解 由题意，设P为合格的概率，则

P?P(|X?10.0?5|0.?12P)???0.X?12X?10.05? ??10.05?P?0.?122????0.06??2??(2)??(?2)?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544

则不合格的概率=1?P = 0.0456

18. 设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1，

x2)、(x2，+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题，

x1?603?X?60x1?60?P(X?x1)?P??)??0.25???(3?33?4?5 ?3x?60x?60?(?1)?1??(1)?0.75,33查表可得

?x1?60?0.67 3 解得, x1 = 57.99

x2?603?4?X?60x2?60?又P(X?x2)?P????()??0.5833 ?3?33?4?5?3

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查表可得

x2?60?0.21 3解得, x2 =60.63.

19. 已知测量误差X（米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一

次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？

解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知

??10?7.5X?7.5?10?7.5p?P(X?10?)P???? 101010????(0.25?)??(1.?7?5)?(0.?2?5)1?(1.7?5)?0.59?87558610.95990.设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586) 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)n≥0.98 0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n≥4.784

取n=5, 即，需要进行5次测量.

20. 设随机变量X的分布列为 X －2 0 2 3

P

117 7

7

3

27

试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列. 解 (1) 2X的分布列如下

(2) x2的分布列

21. 设X服从N(0，1)分布，求Y＝｜X｜的密度函数.

?x,解 y=|x|的反函数为h(y)=???x,x?0x?0, 从而可得Y=|X|的密度函数为：

?y1e2?2?22X -4 0 4 6 p 1/7 1/7 3/7 2/7 X2 0 4 9 p 1/7 4/7 2/7 当y>0时，f(y)?f(?y)|(?y)'|?f(y)|y'|?YXX当y≤0时，fY(y)?0

?2?ye2,y?0 因此有 f(y)????Y?0,y?0?2?y1e2?2?22?e?y22

22. 若随机变量X的密度函数为

?3x2,f(x)???0,

0?x?1其他