概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第六章 第49页 (共62页)

1x?74?(0.001?0.005?0.003?0.001?0?0.002?0.006?0.002)?74.002

8

b2?0.0012?122222(1?2)2?(5?2)?(3?2)?(1?2)?2(0?2)?(?2?2)?(6?2)?(2?2)?8?2

?6?10-6??x?74.002,?2?b2?6?10?6 即??n28S2?b??6?10-6?6.857?10-6

n?171?x?a

4. 设样本X1，X2，?，Xn来自指数分布

X~f(x:a,?)?求参数a,?的矩估计量. 解 总体X的一阶原点矩：

?e?,x?a,??0

??E(X)??xfx(a:?,dx)??xe??a??????(?t?a)edt???tedt??ae?tdt?x?a???1?x?a?dx

?t??t??t?000

?a??总体X的二阶中心矩：

B2??2?D(X)?E(X2)?E2(X)

??xa?21?e?x?a?dx??a???

2?2?2?2a??a2?(?2?2a??a2)??2

由矩法， 应有

??X????a??????22 1n??B?X?X?i??2?ni?1?解这个方程， 得

21nX?X??i? ni?1???21n??B2?X?aX?X ???ini?1

5. 对容量为n的样本，求密度函数

?2?(a?x),0?x?af(x:a)??a2

?0,其他?

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概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第六章 第50页 (共62页)

中参数a的矩估计值.

解 总体X的一阶原点矩：,

??E(X)??xf(x:a)dx??x??0??a2a (a?x)dx?a23?a1n 由矩法，有?X??Xi,

3ni?1??3X 解得 a

6. 设X～B(1, p)，X1，X2，?，Xn是来自X的一个样本，试求参数p的最大似然估计量. 解 设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，由X~B(1，p), x1，x2，…，xn是相应于样本X1，X2，…，Xn的一个样本值，似然函数为：

L(x1,x2,?xn,p)??p(1?p)xii?1n1?xi?p?i?1nxin?(1?p)?xii?1n

n?? lnL(x1,x2,?xn,p)??xilnp??n??xi?ln(1?p),

i?1i?1??nn???n?xx?i??idlnL?i?1??,, i?1??

dpp1?pdlnL令 ?0 则有

dpn?? ?1?p??xi?p?n??xi?,i?1i?1??nn

解得p的最大似然估计值为

1n???xi?x pni?1??X 因此, 相应的最大似然估计量为 p

7. 设总体X服从几何分布，它的分布律为

P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,?

X1，X2，?，Xn为X的一个样本，求参数p的矩估计量和最大似然估计量.

解 (1) 总体X的一阶原点矩：

??E(X)??k?pk??k?p(1?p)k?1k?1??k?1?p?k(1?p)k?1?k?1?1 p样本的一阶原点矩：

1nA1??Xi?X

ni?1??A1?X 由矩估计， 有 ?11?? 所以?X， p?pX

(2) 设X1，X2，…，Xn是取总体X的样本， x1，x2，…，xn是相应于样本X1，X2，…，

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