2014届高考数学（山东专用理科）一轮复习教学案第十章计数原理10.3二项式定理

10.3 二项式定理

考纲要求

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1．二项式定理

(a＋b)n＝____________________，该等式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．该展开式有如下特点：(1)它是______项和的形式；(2)各项次数的和都等于二项式的幂指数____，各项从左到右是按字母a的降幂且按字母b的升幂排列的；(3)它是两项和的形式，公式中a，b的位置不能互换，(a－b)n可按[a＋(－b)]n展开；(4)Cn(r＝0,1,2，?，n)叫做二项展开式第______项的二项式系数，它与a，b的取值无关．

2．通项公式

Tr＋1＝Cnanrbr(r＝0,1,2，?，n)，它表示展开式中的任意一项，只要n，r确定，该项

－

rr也就随之确定．

3．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn＝______.

(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项的二项式系数__________最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数____________、__________相等且最大．

rCn?Cn?Cn?…?Cn＝____，(3)各二项式系数的和：其中Cn?Cn?…＝__________

＝2n1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n1.

44

1．(1－x)(1＋x)的展开式中x的系数是( )． A．－4 B．－3 C．3 D．4

2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )． A．9 B．8 C．7 D．6

3．(2012湖北高考)设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )． A．0 B．1 C．11 D．12

a

x－?6展开式的x2的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值为__________．4．若? ?x?1?18

5．?x－的展开式中含x15的项的系数为__________．(结果用数值表示) ?3x?

－

－

[来源学_科_网]012n02一、二项展开式的通项公式的应用

?x＋1?n

【例1】若?4?的展开式中前三项的系数成等差数列，求：

2x??

(1)展开式中含x的一次幂的项； (2)展开式中所有x的有理项． 方法提炼

二项展开式的通项与数列的通项公式类似，它可以表示二项展开式的任意一项，只要n，r确定，该项也就随之确定．利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意的指定项，如常数项、系数最大的项、次数为某一确定值的项、有理项等．

请做演练巩固提升3

二、用赋值法求二项展开式系数的和 【例2】在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和；

[来源学科网]

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和；

(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和． 方法提炼

由于二项式定理是一个恒等式，对于a，b的一切取值均成立．因此，可将a，b设定为一些特殊值．在使用赋值法时，令a，b取多少，应就具体情况而定．

请做演练巩固提升1

三、二项式定理的其他应用

－

【例3】求证：1＋2＋22＋?＋25n1能被31整除(n∈N*)． 方法提炼

1．利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．

2．求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围．

请做演练巩固提升2

二项式定理中的几个概念

2

x－2?n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是【典例】(12分)已知?x??10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含x的项；

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 规范解答：由题意知，第五项系数为C4(－2)4， n·

C4(－2)410n·22

第三项的系数为Cn·(－2)，则有2＝，

Cn·(－2)21

化简得n2－5n－24＝0，

解得n＝8或n＝－3(舍去)．(4分)

(1)令x＝1，得展开式中各项系数的和为(1－2)8＝1.(5分)

2－?－2?r (2)通项Tr＋1＝Cr(x)8r·8·?x?8?r?2rrr2＝C8·(－2)·

32x，

令

8－r3

－2r＝，则r＝1， 22

32故展开式中含x的项为T2＝－16x.(8分)

1r1(3)设展开式中的第r项、第r＋1项、第r＋2项的系数绝对值分别为Cr2，Cr2r，8·8·＋1r＋1Cr2， 8·

若第r＋1项的系数绝对值最大，

－1r－1rr?Cr2≤C8·2，?8·

则?r＋1r＋1rr解得5≤r≤6.(10分) ?C·2≤C·2，?88

－

又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792x11.

－

由n＝8知第五项二项式系数最大，此时T5＝1 120x6.(12分) 答题指导：

1．本题重点考查了二项式的通项、二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念． 2．解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同及项数和项的不同． 3．本题的易错点是混淆项与项数、二项式系数和项的系数的区别．

－

－

32

1．设(1＋x＋x)＝a0＋a1x＋?＋a2nx，求a2＋a4＋?＋a2n的值为( )． A．3n B．3n－2

3n－13n＋1C． D． 22

a1a2a3a2 013

2．若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋?＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋2＋3＋?＋2 013的值为

2222

( )．

A．2 B．0 C．－1 D．－2

1

x＋2?6展开式的常数项为__________． 3．(1＋x3)??x?2

x－?6的二项展开式中，常数项等于__________． 4．(2012上海高考)在??x?2n2n

参考答案

基础梳理自测 知识梳理

n1n－112n－22rn－rrn*

1．C0b＋Cnab＋?＋Cnab＋?＋Cnna＋Cnanb(n∈N) n＋1 n r＋1

－r3．(1)Cnn

(2)C Cn2nn?12n

Cn?12n3

(3)2n C1n＋Cn＋?

基础自测

1．A 解析：原式＝(1－x)4(1＋x)4＝(1－x)4，于是x的系数是C1(－1)＝－4. 4·

413222334

2．B 解析：(x－1)＝1＋C4x(－1)＋C4x(－1)＋C4x(－1)＋x＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3

＋a4x4，

∴a0＝1，a2＝C2 4＝6，a4＝1.∴a0＋a2＋a4＝8.

3．D 解析：∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为Tr＋1＝2 012－r

Cr·(－1)r.故(52－1)2 012被13除余数为C2 012(－1)2 012＝1，则当a＝12时，512 0122 012522 012·＋12被13整除．

a?r6－r?rr6－2r－4．－3 解析：二项展开式的通项为Tr＋1＝Crx＝(－a)C6x， 6

?x?2

∴A＝(－a)2C26＝15a，

3

B＝(－a)3C36＝－20a. 又∵B＝4A， ∴－20a3＝60a2. ∴a＝－3.

1?181?r?r18－r?x－－5．17 解析：展开式的通项Tr＋1＝C18x ?3x??3x?

[来源学#科#网Z#X#X#K]1?rr18?2r?＝?－3?C18x. 3

令18－r＝15，则r＝2，

2

1－?2C2故展开式中含x15的系数为??3?18＝17. 考点探究突破

3?x＋1?n

0?1?01?1?12?1?2

【例1】解：∵?的展开式中前三项的系数分别为C，C，C?n2n2n2，4??????2x??

而前三项的系数成等差数列，

1?10?1?02?1?2?∴2C1＝C＋Cn2n2n2， ??????n?n－1?

即n＝1＋，

4×2

解得n＝8或n＝1(舍去)．

?1?r

r8－r

(1)Tr＋1＝C8(x)?4?

?2x?

1?rr＝??2?C8x令

16?3r4，

16－3r

＝1，得r＝4. 4

1?4435

∴T5＝??2?C8x＝8x.

35∴展开式中含x的一次幂的项为T5＝x.

8