山东省高密市第三中学高三数学一轮复习 4.3三角函数的图象和性质学案（无答案）理

§4.3 三角函数的图像和性质

要点梳理：

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R π{x|x∈R且x≠2＋kπ，k∈Z} 值域 [－[－1,1] ππ＋2kπ，＋22[－1,1] [－π＋2kπ，R 单调性 ππ(－＋kπ，＋222kπ](k∈Z)上递增； 2kπ](k∈Z)上递增； π3π[＋2kπ，＋222kπ](k∈Z)上递减 [2kπ，π＋kπ)(k∈Z)上递增 2kπ](k∈Z)上递减 x＝π＋2kπ(k∈Z)2时，ymax＝1； 最值 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－π2＋x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 对称中心 对称轴方程 周期 课前自测：

奇函数 (kπ，0)(k∈Z) π2偶函数 奇函数 πkπ(＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 22x＝＋kπ(k∈Z) 2π x＝kπ(k∈Z) 2π π 1.为了得到函数y?sin2x的图象，只需把函数y?sin?2x?A. 向左平移C．向右平移

?????的图象( ) 6??6个单位 B．向左平移

?12个单位 个单位

?6个单位 D．向右平移

?12?π?2．函数f(x)＝sin?x－?的图像的一条对称轴是

4??

πππA．x＝ B．x＝ C．x＝－

424

( )

π

D．x＝－ 2

??π???π?3． 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤?f???对x∈R恒成立，且f??

列结论正确的是 ( )

?11??7π??π?A．f?π?＝－1 B．f??>f?? ?12??10??5?

ππ??C．f(x)是奇函数 D．f(x)的单调递增区间是?kπ－，kπ＋?(k∈Z) 36??4．将函数y＝3cos x＋sin x(x∈R) 的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则

m的最小值是 ( ) πππ5πA. B. C. D. 12636

5． 设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x＋2cos x取得最大值，则cos θ＝________. 6.已知??0，函数f(x)?sin(?x?

)在(,?)上单调递减．则?的取值范围是（ ）

2415131A．[,] B． [,] C． (0,] D．(0,2]

24242??7.若函数y?3sinx?cosx的图象向右平移m(m?0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）

??2?? (B) (C) (D) 64338. f?x??cos2x?23sinxcosx，下列命题：

(A)

①、若存在x1，x2有x1?x2??时，f?x1??f?x2?成立； ②、f?x?在区间?????????,?上是单调递增；③、函数f?x?的图像关于点?,0?成中心对称图像；④、将函数

?12??63?5?f?x?的图像向左平移个单位后将与y?2sin2x的图像重合．

12其中正确的命题序号 .（注：把你认为正确的序号都填上） 典例分析

题型一 求三角函数的定义域和最值

2

例

1(1)(2012·山东)函数y＝2sin?

?πx?6－π3???

(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ( )

A．2－3 B．0 C．－1

D．－1－3

(2)函数y＝1

tan x－1的定义域为______________________．

跟踪训练1： (1)函数y＝lg(sin x)＋

cos x－1

2

的定义域为________．

(2)函数y＝sin2

x＋sin x－1的值域为 ( )

A．[－1,1] B．[－55

4，－1] C．[－4，1]

D．[－1，5

4

] 题型二 三角函数的单调性、周期性

例2

函数的单调区间及周期：

(1)y＝sin??π?－2x＋3???；(2)y＝|tan x|.

写出下列

3

跟踪训练2： 求函数y＝sin?

?π＋4x?＋cos?4x－π?的周期、单调区间及最大、最小值．

??6??3???

5πkπ

当x＝－＋ (k∈Z)时，ymin＝－2.

242题型三 三角函数的奇偶性和对称性

例3 (1)已知

f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ) ?|φ|≤?的图像关于直线x＝0对称，则φ的值为

2

??

π?

?

________．

(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点?A.π

6

B.π

4

π

C. 3

?4π，0?中心对称，那么|φ|的最小值为( )

?

?3?

πD. 2

跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为

( )

1

D．(，0)

8

π1

A．(－，0) B．(0,0) C．(－，0)

88

πππ

(2)设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图像关于直线x＝

2212ππ

对称，则在下面四个结论：①图像关于点(，0)对称；②图像关于点(，0)对称；③在[0，

43ππ

]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 66题型四 三角函数的单调性、对称性

ππ

典例4： (1)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )

42

15

A．[，]

24

13B．[，]

24

4