(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示教案

??－6m＋n＝5，∴?

?－3m＋8n＝－5，?

??m＝－1，

解得?

?n＝－1.?

∴m＋n＝－2.

思维升华平面向量坐标运算的技巧

(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解． →→

跟踪训练2线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|AC|＝2|BC|，则x＋y＝________. 答案 －2或6

→→

解析 由已知得AC＝(1－x，－4)，2BC＝2(3,1－y)． →→→→由|AC|＝2|BC|，可得AC＝±2BC，

?1－x＝6，?→→

则当AC＝2BC时，有?

??－4＝2－2y，

?1－x＝－6，?→→

当AC＝－2BC时，有?

??－4＝－2＋2y，??x＝7，

解得?

??y＝－1，

解得?

?x＝－5，???y＝3，

此时x＋y＝－2；

此时x＋y＝6.

综上可知，x＋y＝－2或6.

题型三 向量共线的坐标表示

命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标

例3已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． 答案 (3,3)

解析 方法一 由O，P，B三点共线， →→

可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)， →→→

则AP＝OP－OA＝(4λ－4,4λ)． →→→

又AC＝OC－OA＝(－2,6)，

→→

由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 3→3→

解得λ＝，所以OP＝OB＝(3,3)，

44所以点P的坐标为(3,3)．

9

→

方法二 设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，

xy→→→

因为OB＝(4,4)，且OP与OB共线，所以＝，

44

即x＝y.

→→→→

又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2,6)，且AP与AC共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3， 所以点P的坐标为(3,3)． 命题点2 利用向量共线求参数

例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为( ) 11111A．－B.C．2D.

424答案 B

解析 因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)， 所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)， 又c＝(－5,1)， 由(a＋kb)∥c

1

得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝，故选B.

2思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．

(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．

跟踪训练3 (1)(2018·济南模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与3a－b平行，则实数x的值是__________________． 答案 2

解析 ∵a＝(1,1)，b＝(2，x)， ∴a＋b＝(3，x＋1)，3a－b＝(1,3－x)， ∵a＋b与3a－b平行，

∴3(3－x)－(x＋1)＝0，解得x＝2.

→→→

(2)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________． 2

答案 － 3

10

解析 →AB＝→OB－→

OA＝(4－k，－7)， →AC＝→OC－→

OA＝(－2k，－2)．

∵A，B，C三点共线，∴→AB，→

AC共线， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－2

3

.

1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且→MP＝1→

2MN，则P点的坐标为( A．(－8,1)

B.??3?－1，－2??? C.???1，32???

D．(8，－1)

答案 B

)

11

→

解析 设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)． 1?1→1?而MN＝(－8,1)＝?－4，?， 2?22?

x－3＝－4，??

∴?1

y＋2＝，?2?

x＝－1，??

解得?3

y＝－，?2?

3??∴P?－1，－?.故选B.

2??

→→→→→

2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB＝DC＝(2,0)，AD＝(1,1)，则AC＋BC等于( ) A．(3,1) B．(4,2) C．(5,3) D．(4,3) 答案 B

→→→

解析 AC＝AD＋DC＝(3,1)， →→→

又BD＝AD－AB＝(－1,1)， →→→

则BC＝BD＋DC＝(1,1)， →→

所以AC＋BC＝(4,2)．故选B.

3．(2018·海南联考)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，若向量a与b同向，则x等于( ) A．－2B．2C．±2D．0 答案 B

解析 由向量a与b共线得－x＝－4，所以x＝±2.又向量a与b同向，所以x＝2.故选B. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，2) C．(－∞，＋∞) 答案 D

解析 由题意知向量a，b不共线， 故2m≠3m－2，即m≠2.

5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOCπ→→→

＝，且|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ等于( ) 4A．22B.2C．2D．42 答案 A

π

解析 因为|OC|＝2，∠AOC＝，

4

B．(2，＋∞)

D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

2

12