(全国通用版)2020高考数学二轮复习 12+4分项练5 三角函数与解三角形 理

2019年

即

3π2ππ4π＋<π≤＋， 2ωω6ωω725解得<ω≤.

26

π→→13．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝，a＝7，b＝5，点D满足BD＝2DC，则c＝________；

3

|→AD|＝________.

答案 8

261

3

解析 如图，

π

∠A＝，a＝7，b＝5.

3

∴根据余弦定理得a＝b＋c－2bccos A， 1222

即7＝5＋c－2×5×c×，

2∴c＝8或c＝－3(舍去)，

2

2

2

a2＋c2－b249＋64－2511

∴cos B＝＝＝. 2ac2×7×814

→→

∵点D满足BD＝2DC， →＝2a＝14. ∴BD33

||

1411244?14?2222

在△ABD中，由余弦定理可得AD＝BD＋c－2BD·c·cos B＝??＋64－2××8×＝.

3149?3?261→261

∴AD＝，即|AD|＝. 33

14．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos

A＝0，则当角B取得最大值时，三角形的内切圆的半径r＝________.

答案

33－ 2

解析 因为b＋2ccos A＝0，

?π?所以A∈?，π?， ?2?

且sin B＋2sin Ccos A＝0，

即3sin Ccos A＋cos Csin A＝0,3tan C＋tan A＝0.

2019年 tan A＋tan C2tan C3tan B＝－＝， 2≤1－tan Atan C1＋3tanC3ππ

当且仅当C＝时等号成立，故Bmax＝，

66所以B＝C，即b＝c＝1，a＝3， 113

此时r(2＋3)＝×1×1×，

2223解得r＝3－.

2

15．(2018·湛江模拟)如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B要8分钟，

AC 长为1 260米，若cos A＝，sin B＝.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的

速度v(米/分钟)的取值范围是________．

12

136365

?1 250，625? 答案 ?14??43?

解析 在△ABC中

12635已知b＝1 260，cos A＝，sin B＝，则sin A＝，

136513

由正弦定理可得，a＝bsin A＝sin B1 260×

6365

513

＝500，

由余弦定理a＝b＋c－2bccos A得 12222

500＝1 260＋c－2×1 260×c×，

1316 720

解得c1＝1 040，c2＝，

13

16 720若c＝，与题图中AC最大矛盾，舍去，

13据此可得，c＝1 040.

乙从B出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min，

5007101 250625

由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，

v504314所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，

222

2019年

乙步行的速度应控制在?

?1 250，625?范围内．

14??43?

16．(2018·烟台模拟)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝1，以BC为斜边构造等腰直角△BCD，则得到的平面四边形ABDC面积的最大值为________．

答案 1＋

6

2

解析 设∠BAC＝θ，

在△ABC中，因为AB＝3，AC＝1，

13

所以其面积为S1＝×3×1·sin θ＝sin θ，

22在△ABC中，

由余弦定理得BC＝AB＋AC－2AB·ACcos θ ＝3＋1－2×3×1·cos θ＝4－23cos θ， 所以在等腰直角△BCD中，

1122

其面积为S2＝BD·CD＝×BC×BC

2222123

＝BC＝1－cos θ， 42所以四边形ABDC的面积为

2

2

2

S＝S1＋S2＝

π?336?

sin θ＋1－cos θ＝1＋sin?θ－?，

4?222?

π?6?所以当sin?θ－?＝1时，S取得最大值1＋. 4?2?