陕西师范大学练习1

（1）求出S3关于H的所有左陪集和右陪集； （2） 写出S3的所有子群与正规子群。

提示：左陪集：H?{(1),(12)} ；(13)H?{(13),(132)}；(23)H?{(23),(123)}---3分 右陪集：H?{(1),(12)} ；H(13)?{(13),(123)}；H(23)?{(23),(132)}---6分 子群：H1?{(1)},H2?{(1),(12)}

H3?{(1),(13)}},H4?{(1),(23)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3六个子群；---12分

H1?{(1)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3三个正规子群。

四、证明题

1．证明：6阶群至少有一个3阶子群。

提示：设G是一个6阶群,e是的单位元，由Lagrange定理, G的非单位元的阶只能是2,3,或6.若G中非单位元的阶皆为2,则G是交换群。设a,b是两个2阶元，则{e,a,b,ab}是G的4阶子群这与Lagrange定理矛盾，所以G中必有3阶元或6阶元。---8分；若b是6阶元,则b是三阶元,因此G必有一个3阶子群；若c是三阶元，则G必有一个3阶子群。 2．设?是群G到群G的一个同态满射，K?Ker?,H?G,则??1(?(H))?HK。 提示：?hk?HK，?(hk)??(h)?(k)??(h)??(H)，因此hk???1(?(H))，即

?2HK???1(?(H))；-4分?x???1(?(H))，有?(x)??(H)，存在h?H，使得

?(h)??(x)，因此?(hx)??(h)?(x)?e?K，存在k?K，使得h?1x?k,x?hk?HK，即??1(?(H))?HK，因此??1(?(H))?HK。

3.假定R是由所有复数a?bi(a,b是整数)作成的环,

(1)环R/(1?i)有多少元? (2) 证明: R/(1?i)是一个域. 提示：R是有单位元的可换环,那么理想(1?i)的元素形式为

?1?1?(a?bi)(1?i)?(a?b)?(a?b)i,注意到a?b,a?b同奇偶性；而且对任意的x?yi?R,且x，y的奇偶性相同,设a?b?x,a?b?y,即a?x?yy?x,b?,22则x?yi?(1?i),因此(1?i)由一切x?yi组成,其中x，y同奇偶性；-6分

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由此可见对任意的x?yi?R,只要x，y同奇偶性,恒有

x?yi?(1?i)?(1?i)；若x?yi?R,且x，y奇偶性不相同,恒有x?yi?(1?i)?1?(1?i),即R/(1?i)?{0,1},从而R/(1?i)是仅含有两个元的域,即R/(1?i)?Z2.

4.假定R是偶数环。

(1). 证明：所有整数4r(r?R)是的一个理想N； (2). 证明:(4)是R的最大理想,但R/(4)不是一个域。

提示：(1). 显然N非空； 令4r1,4r2是N的任意两个元,由于偶数减偶数还是偶数，所以4r1?4r2?4(r1?r2)?N,； 令r是R的任意元,由于偶数乘偶数还是偶数,所以

r(4r1)?4(rr1)?N,因此N是R的一个理想；

(2).(4)刚好含有一切4n,这里n是整数 .设M是R的一个理想,并且

(4)?M, (4)?M,那么有2m?M,2m?(4),由此有

2m?4q?2,2m?4q?2?N,则N?(2)?R,这就是说(4)是R的最大理想；在

R/(4)中[2]\\[0],而[2][2]?[4]?[0],因此R/(4)有零因子,因而R/(4)不是一个

域.

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二、判断题

1、假如一个集合A的代数运算?适合交换率，那么在a1?a2?a3?an里(ai?A)，元的次

序可以交换。

2、如果无零因子环的特征是有限正整数n, 则n一定是素数。

3、在环R到R的同态满射下，R得一个理想N的逆象N一定是R的理想。 4、S4的置换????2??1234??是一个4—循环置换。

143??5、环R的非空子集S作成子环的充要条件是：

1）若a,b?S,则a?b?S； 2）a,b?S,，则ab?S。

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提示：1、×， 2、√， 3 √， 4、×， 5、√ 三、证明题

1、设G是由以下四个二阶方阵作成的集合

?10???10??10???10?a???01??,b???0?1??,c???0?1??,d???01??

????????证明：G对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。 提示：由题设可列乘法表：

a b c d

a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a

由此表可知：方阵普通乘法是G的代表运算，a 是G的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G中都有逆元，结合率显然成立。故G对方阵普通乘法作成一个交换群。

2、证明：在任意群G中，a与a有相同的阶 （a?G) 提示：设a?G,且a 的阶为n 即a?e （e是G 的单位元）

则：(a?1)n?a?n?(an)?1?e?1?e 即a的阶也为n,反之亦然，即证得：a与a相同的阶。

3、设G=（a）是循环群，证明：当a?n时，G（a）与n次单位根群同构。

提示：设a?G?(a)的阶为n ,则易看出映射?:a?e是G=（a）到n次单位根群 （e）=1,e,e,?emm?1?1n?1有

?2n?1? (e为n次原根)的一个同构映射，故G=（a）?(e)。

4、设R是阶大于1的可交换环，证明：当R不含零因子时，R[x]也不含零因子。 提示：、证：因为环R 的阶大于1，故R[x]有非零多项式，假如R[x]有零因子，即存在非零多项式f(x),g(x)?R[x]，使f(x)?g(x)?0，令a?0,b?0分别为f(x)，g(x)的最高次项系数，则f(x)?g(x)的最高次项系数为ab，应有ab=0，（因f(x)?g(x)?0），即a是R的零因子，这与R元零因子矛盾，即若R不含零因子时，R[x] 也不含零因子。

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5、证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。 提示：因为1?2i2?5为素数，则1?2i（以及?1?2i,2?i,?2?i）是Z[i]的不可约元，

且显然有分解：5?(1?2i)(1?2i) 若设5?a1a2?an(ai不可约） 则

52?a1?a2?an且ai5=ab且a四、解答题

222222?1,ai2?25，这只有n?2，且ai2?5不妨设

?b?5则只能a?b，即5=aa，即5有唯一分解。

1、设X是数域F上全体n阶方阵作成的集合，问：

?:A?A （A为A的行列式）是否是X到F的一个一一映射？说明理由。

提示：?是X到F的一个映射，但不是一一映射，因为

?10???11???A??,B??00??00??，A，B?X,且A?B，但在?下，?(A)??(B)?0，不是????一一映射。

2、非零实数集R对运算a?b?ab能否作成群，说明理由。

提示：非零实数集R对运算a?b?ab不能作成群。因为1,?1?R，但方程1?x??1， 即x??1在R中无解，由群的定义知R对所给代数运算，不能作成群。 3、试举出满足以下条件的群：

1）G是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。

2）G是无限群，G中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素。 提示：1）如整数加群G除单位元O外，每个元的阶都无限。

2）如：全体非零有理数对普通乘法作成一个群，满足题设条件，除单位元1的阶是1外，-1的阶是2，而其余各元素的阶都是无限。

4、举例说明：环R的中心不一定是R的理想。

提示：例：有理数域Q上n>1阶方阵环Qn?n的中心为C=?aE|a?Q?,E是n阶单位阵，它不是Qn?n 的理想，因易知存在A?Qn?n，而aE?A?aA?C，其中a?0,由理想定义知：C不是Qn?n的理想。

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b c