陕西师范大学练习1

提示：易知R作成一个有单位元的可换环，但不一定作成域，如：当F 为实数域时，方阵

?2A???1?2???0，属于R但A?0，故A在R中没有逆元，从而R不能作成域，但2??是当F为有理数域时，R可以作成域。

陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程学习指导（四）

一、判断题

1. 集合A的一个分类决定A的一个等价关系。（ √ ）

2. 设H1,H2均为群G的子群，则H1?H2也为G的子群。 （ × ） 3. 群G的不变子群N的不变子群M未必是G的不变子群。（ √ ） 4. 环R的中心一定是环R的理想。（ × ） 5. 除环的子环也是除环。（× ） 二、计算题 设??S6，其中????3??123456??。

54162???11. 将?分解成不相交轮换的乘积；2. ?求的周期； 3. 求?提示：1、??(134)(256)?(14)(13)(26)(25)；

2、?(?)?3； 3、?三、证明题

若G群的每一个元都适合方程x?e。证明:G是交换群。 提示：?a?G,因a?e,而aa2?12?1。

?(143)(265)。

?e,故a2?aa?1,由消去律知a?1?a；

任取a,b?G则有a?a?1,b?b?1,又(ab)?1?b?1a?1?ba,但ab?G, 故(ab)?1?ab进而, ab?(ab)?1?b?1a?1?ba，即G是交换群. 四、证明题

假定群G的元a的周期是n.证明:

ar的周期是

n,这里d?(r,n)是r和n的最大公 因子。 drnd提示：首先(a)?anrd?(a)?e； rmnrd其次,若有自然数m,使得(a)?e,则ar?e,故n|rm,----6分

m 9

又(n,r)?d,故有整数s、t,使得n?sd,r?td,且(s,t)?1,那么sd|tdm,即s|tm,但

(s,t)?1,故s|m,即五、证明题

nn|m,从而?(ar)? dd证明：阶是素数的群一定是循环群。

提示：因p?1,故存在a?G,a的周期为m?1；又m|p,而p是素数,则m?p,即

G?(a).

六、证明题

假定G和G是两个群,并且?是G到G的同态满射。 1. 证明ker?是群G的正规子群；

2. 证明?是同构映射当且仅当ker?={e}。 提示：先证ker?非空， 其次证ker?是子群；

最后证ker?的不变性。 2、只证?是单射即可。 七、证明题

一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环。

提示：由于R中乘法消去律成立，则(R*,?)是有限半群，--5分；进而R关于乘法仍满足消去律，故R关于乘法是一个群，从而R是除环。

八．设有理数域F上的全部2?2矩阵环为F22.证明: F22只有零理想同单位理想,但不是一个除环.

提示：设N是F22的一个理想并且N?{0},那么N含有2阶矩阵A?0.-2分

**???10?若A的秩是2,那么A有逆A,而AA???01???E?N,此时N?F22；-5分

???1?1若A的秩是1,则存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ????10???N,又 ??00??01??10??01??00??10??00??????????10??00??10???01??N，因此??00?????01???E, ????????????因而也有N?F22,这就是说F22只有零理想同单位理想,；但

?10??00??00???00????01?????00??, ?????? 10

所以F22又零因子,因而F22不是一个除环.

九、环R叫Boole环是指a2?a,?a?R。证明：每个Boole环都是交换环并且

a?a?0,?a?R。

答案：?a?R,a?a2?(?a)2??a，所以a?a?0,?a?R；

由于?a,b?R,(a?b)2?a2?b2?ab?ba?a?b，即有ab?ba?0,ab?ba。 十、Z3是模3的剩余类所作成的集合。找出加群Z3的所有自同构映射，再找出域Z3的所

有自同构映射。

答案：对加群Z3的自同构映射，自同构映射必保持零元，所以有2个自同构映

射,?1:i?i,i?0,1,2; ?2:0?0,1?2,2?1.

对域Z3的自同构映射，自同构映射必保持零元和单位元，所以有1个自同构映射,?1:i?i,i?0,1,2;

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1． 2。D 3。 D 4。A 5。C 6。 B 1. 如果A?B?A?C,A?B?A?C， 则（C ）。 A.B?C B. B?C C. B?C D. B?C

2. 设A?{1,2,3},B?{a,b,c}，则A到B的映射个数有（D ）。 A. 9 B. 6 C. 12 D. 27 3. 指出下列那些运算是二元运算（D ）。 A．在整数集Z上，a?b?a?b B. 在有理数集Q上，a?b?abab

?C.在正实数集R上，a?b?alnb D.在集合n?Zn?0上，a?b?a?b

??4. 下面是交换半群，但不是群的是（ A ）。

A. (N,?) B. (Q,?) C. (Z,?), 其中是非零整数集合 D. (C,?) 5. 设e是群G的单位元，a,b是G的两个元素，则（ C ）。 A. (ab)?1*?a?1b?1 B. (ab)?2?a?2b?2 C. 若a2?e，则a?a?1 D.ab?ba

6.精确到同构, 4阶群有( B )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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7. 以下命题中，正确的是( B )。 A. 任意一个环R，必含有单位元 B. 环R中至多有一个单位元

C. 环R有单位元，则它的子环也有单位元

D. 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同 8.Z6的所有子环是（ D）。

A. {0},{0,3},{0,2,4} B. {0},Z6

C. {0},{0,3},Z6 D. {0},{0,3},{0,2,4},Z6 9.在高斯整环Z[i]的下面理想中是素理想的是（D ）。 A. (5) B. (2) C. (9) D. (3)

10.数环Z中,n的相伴元是（C ）。

A. 只有n B. 只有?n C. 只有n与?n D. 无数多个

二、填空题

1．设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么Ai?Aj?

?。

2．设群G中元素a的阶为m，如果a?e，那么m与n存在整除关系为m|n。 3．凯莱定理说：任一个子群都同一个变换群同构。

4．设F是一个有四个元的除环，则F的特征是 2 。

5．设R是有单位元的环，a?R，I是由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为

nn?xay,其中n?Z,x,y?R。

+iiiii?1

三、计算题

1．设9次置换????5??123456789??， ?37618942?（1）将?表成互不相交的轮换乘积； (2) 将?表示成形式为对换的乘积；

(3)求出?的逆与的阶。 提示：（1）??(15)(2379)(468),

（2）??(15)(29)(27)(23)(48)(46)（3）??1?(15)(9732)(864),|?|?12。

2．设S3是三次对称群，H?{(1),(12)}是S3的子群。

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