陕西师范大学练习1

陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程学习指导（一）

一、单项选择题

1. 如果A?B?A?B， 则 ( C )。

A.A?B B. A?B C. A?B D. A?B 2.设S?{0,1,2}，则S上的等价关系有（ D ）个。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 指出下列运算（ C ）是对应集合的二元运算 A．在有理数集Q上，a?b?a B. 在非零有理数集Q*上，a?b?a?b bC. 在有理数集Q上，a?b?a?b D. 在非零有理数集Q*上，a?b?a2?b2 4. 下列集合（A ）对运算a?b=a?b?2作成交换群。

A．整数集Z B. 非零实数集R* C. 非零有理数集Q* D. 非零整数集Z* 5. 模6加群Z6的生成元有（ A）个。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.设G?(R*,?)，下列（ B ）规则是群G的自同态映射。

2A.x?2x B. x?x C. x??x D. x??1 x7. 下面（ A ）环是非交换环。 A. (Mn(F),?,?) B. (Z,?,?) C. (Zm,?,?) D. 高斯整环

8. 设F是域，且|F|?16，则F的特征为（ A ）。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

9. 模12的剩余类环Z12中，子环（ B ）无零因子。

A. {0,6} B. {0,4,8} C. {0,3,6,9} D. {0,2,4,6,8,10} 10. 设R，R是两个环，且R~R，则下列命题中的错误的是（C ）。 A. 若R是可换环，则R可换 B. 若R有单位元，则R有单位元 C. 若R无零因子，则R无零因子 D. 若a是R的逆元，则a象是R逆元。 二、计算题

?????? 1

设?,??S5，其中??(123)(45)， ????54132??。

?? 1.求?的周期; 2.求????1及其周期; 3.将????1表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。

提示：1．因为?((123))?3,?((45))?2,且(123)(45)?(45)(123),(2,3)?1 故?((123)(45))?6．

2. ????1=(?(1)?(2)?(3))(?(4)?(5))=(541)(32)=(154)(23)，(????1)=6; 3．????1?(154)(23)?(14)(15)(12)(13)(12). 三、计算与证明题 设S3是三次对称群。

1. 把S3的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。

2. 证明S3是阶数最小的不可换群。 提示：1.S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)};

2、利用拉格朗日定理及每个元素的平方是单位元是可换群，素数阶群一定是循环群。

四、证明题

假定～是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G 的任意三个元a,x,y来说，有ax～ay?x～y。 证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群。 提示：设H=[e],由于～是等价关系，故e～e,即e?H----4分;

?12345??a,b?H,则a～e, b～e因而ae～a?1, be～bb?1,由题设可得e～a?1, e～b?1,---10分; 由对称性及传递性得b?1～a?1,a?1ab?1～a?1e,再由题设得ab?1～e即

ab?1?H,那么与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群

五、证明题

设群G=(a)且a的周期是n.

证明:对n的每一个正因子k,有且只有一个k阶子群。

2

提示：对n的每一个正因子k,，则|a|?k，令H?(a)，则H是G一个k阶子群； 设M?(am)是G任一个k阶子群，则amk?e，于是n|mk，因而mnknkn|m，从而k(a)?H?(a)，---10分 然而|H|?|M|，因而，M?H?(a)，从而G有且只有一个k阶子群。 六、证明题

设G是一个阶大于1的群,证明：G只有平凡子群当且仅当G为素数阶循环群。 提示：充分性，由Lagrange定理知，显然成立。

必要性，因为|G|?1，所以存在a?G,a?e。设H?(a)，则H?{e}，但是H?G，由假设，H?G；若|a|??，则(a2)是G的非平凡子群，与假设矛盾；

若|a|?n是合数，即n?n1n2，n1?1,n2?1，则|an1|?n2，从而(an1)是G的非

平凡子群与假设矛盾。因此G为素数阶循环群。 七、证明题(20分)

假定R[x]是整数环R上的一元多项式。 1. 写出R[x]的理想(2,x)所含元素形式. 2. 证明: (2,x)不是R[x]主理想.

3. 证明:若R是有理数域,那么(2,x)是R[x]的一个主理想. 4. (x)是不是R[x]的最大理想?若R是有理数域时,情形如何?

提示：1、(2,x)刚好包含所有多项式:2a0?a1x???anxn,(ai?R,n?0).

2、假定(2,x)是主理想,即(2,x)?(p(x))那么2?(p(x)),x?(p(x)), 因而 2?q(x)p(x),x?h(x)p(x)但由2?q(x)p(x),可得p(x)?a?R,即

nknka??1, x?h(x)a这样?1?p(x)?(2,x)是矛盾的.

3、 若R是有理数域,那么R[x]包含有理数11,于是2?1?(2,x),因而它的理想 22(2,x)含有单位元1,因此(2,x)等于主理想(1).

4. (x)不是R[x]的最大理想,若R是有理数域时, (x)是R[x]的最大理想 八、写出Z20的所有理想和最大理想。

答案：Z20的理想：H1?{[0]]，H2?Z20，H3?{[0],[4],[8],[12],[16]}

3

H4?{[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],[18]}，H5?{[0],[5],[10],[15]}，

H6?{[0],[10]}； Z20的最大理想：H5?{[0],[5],[10],[15]}，

H4?{[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],[18]}

九、证明：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。

提示：如果R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是无限大，那么结论成立；假定R*中的某个元

a的阶是有限整数，而b是环R里任意不等于零的元，那么由

(na)b?a(nb)?0及R是无零因子的环知nb?0，所以b的阶?a的阶，同理a的阶

?b的阶，即有a的阶?b的阶，从而结论得证。

十、证明：有理数域Q是所有复数a?bi，其中a,b是有理数，作成的域R(i)的唯一的真子域。

答案：设F是域R(i)的一个真子域，由于有理数域Q是最小数域，则Q?F；若Q?F，则存在a?bi?F,b?0。于是i?b?1((a?bi)?a)?F，所以F?R(i)矛盾，从而有理数域Q是R(i)的唯一的真子域。

陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程学习指导（二）

二、判断题

1、?是集合A1?A2???An到集合D的映射，则Ai(i?1,2,?n)不能相同。 2、集合A的一个等价关系决定A的一个分类。

3、在环R到环R的同态满射下，则R的一个子环S的象S不一定是R的一个子环。 4、任何一个子群都同一个变换群同构。

5、设N为正整数集，并定义a?b?a?b?ab (a,b?N)，那么N对所给运算?能作成一个群。

提示：1、×， 2、√， 3、× 4、√ 5、 √ 三、证明题

1、设G是整数环Z上行列式等于1或-1的全体n阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G作成一个群。

提示：证：G显然非空，又任取A，B?G，则A??1,B??1，于是AB是整数方阵，

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