选修4-4知识点及题型总结

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：

“参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化，参数方程和极坐标的简单应用三块

1．坐标系: ① 理解坐标系作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形变化情况.③ 在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点位置区别，进行极坐标和直角坐标互化.④ 在极坐标系中给出简单图形（如过极点直线、过极点或圆心在极点圆）方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

?x????x,(??0),1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换?:??y????y,(??0).作用下，点P(x,y)对应到点P?(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中坐标伸缩变换，简称伸

缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为?；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的?xOM叫做点M的极角，记为?。有序数对(?,?)叫做点M的极坐标，记为M(?,?).

极坐标(?,?)与(?,??2k?)(k?Z)表示同一个点。极点O的坐标为(0,?)(??R). 4.若??0,则???0,规定点(??,?)与点(?,?)关于极点对称，即(??,?)与(?,???)表示同一点。如果规定??0,0???2?，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标

(?,?)表示；同时，极坐标(?,?)表示的点也是唯一确定的。

222x??cos?,5．极坐标与直角坐标的互化： ??x?y, y y??sin?,tan??(x?0)x6。圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 ??r；

在极坐标系中，以 C(a,0)(a?0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 ??2acos?； 在极坐标系中，以 C(a,?2)(a?0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是??2asin?；

7.在极坐标系中，???(??0)表示以极点为起点的一条射线；???(??R)表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点A(a,0)(a?0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是

?cos??a.

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数

?x?f(t), 并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这t的函数?y?g(t),?条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，

简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9．圆(x?a)?(y?b)?r的参数方程可表示为?222?x?a?rcos?,(?为参数).

?y?b?rsin?.第 1 页 共 4 页

x2y2x?acos?, 椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程可表示为?(?为参数). ?ab?y?bsin?.?x?2px2, 抛物线y?2px的参数方程可表示为?(t为参数).

?y?2pt.2x?xo?tcos?（,t为参数） 经过点MO(xo,yo)，倾斜角为?的直线l的参数方程可表示为?. ??y?yo?tsin?.10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

??1．已知M???5,?，下列所给出的不能表示点M的坐标的是（ ）

?3????4?A??5,?? B．?5,3???3? C．?2???5,?3??5?? D．???5,??3??? ??2．点P1,?3，则它的极坐标是（ ）

??4?? C??? D．?4?? A．??2,? B．?2,?2,??2,??3??3????3????3?????3．极坐标方程??cos?????表示的曲线是（ ）

?4?A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D圆 4．圆??2(cos??sin?)的圆心坐标是

?24???1?? C．?2,?? D．?2,?? A??????1,? B．??,??4??4??4?5．在极坐标系中，与圆??4sin?相切的一条直线方程为

A．?sin??2 B ?cos??2 C．?cos??4 D．?cos???4 x?1?2t6．若直线的参数方程为?(t为参数)，则直线的斜率为（ ） ??y?2?3tA．2/3 B．-2/3 C．3/2 D -3/2

x?sin2?7．下列在曲线?(?为参数)上的点是（ ） ?y?cos??sin??A．(,?2) B (?,) C．(2,3) D．(1,3)

1 点M的直角坐标是(?1,3)，则点M的极坐标为 2 化极坐标方程

123142?2cos????0为直角坐标方程3 直线xcos??ysin??0的极坐标方程为

4. 极坐标方程4??sin2?2?5表示的曲线是 5.圆锥曲线??8sin?的准线方程 2cos?6.在极坐标系中，定点A(1,

?),点B在直线?cos???sin??0上运动，当线段AB最短2时，点B的极坐标是_________.

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8.已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+π/4)=

2/2，求点A（2，7π/4）到这条直线的距离。

9.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

（一）、方程的伸缩变换

'??x?2x1、已知y?2x，求经过变换?'后的方程。??y?3y2?x'?2x?2、经过变换?'后的方程为y2?2x，求??y?3y变换前的方程。3、求将曲线y?2sin3x变成y?sinx的变换。

4．说说由曲线y?tanx得到曲线y?3tan2x的变化过程。

225.在平面直角坐标系中，方程x?y?1所对应图形经过伸缩变换?x??2x,后图形所对应方

??y??3yx??3x,后，曲线C变为曲线x??9y??9，6. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换??22?y??y则曲线C方程为

（二）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标

??2?x2?y2?x??cos??为?x,y?，它的极坐标为??,??，则 ?；若把直角坐标化或?yy??sin???tg??x?为极坐标，求极角?时，应注意判断点P所在的象限（即角?的终边的位置），以便正确地求出角?.

2，则极点到该直线的距离是 ??4?22?11?例2（1）把点M 的极坐标(8,)，(4,),(2,??)化成直角坐标

36例1：已知直线的极坐标方程为?sin???????（2）把点P的直角坐标(6,?2)，(2,?2)和(0,?15)化成极坐标

?2?1、已知点的极坐标分别为（3，），（2，）43求它们的直角坐标。2、已知点的直角坐标分别为（3，3），（?2，?2求它们的极坐标。3）3、把方程x2?2y2?3xy?4x?0化为极坐标方程。4、把方程?2cos2??9，?cos??2sin2?化为直角坐标方程。第 3 页 共 4 页

????????5、已知?ABC的三个顶点的极坐标分别为A??5，?，B?5，?，C??43，?,判断三角形

3??6??2??ABC的三角形的形状，并计算其面积.

（三）、圆和直线的极坐标方程

1、圆心在（a，0）半径为a的方程为：2、圆心在（a，）半径为a的方程为：23、圆心在（a，?）半径为a的方程为：3?4、圆心在（a，）半径为a的方程为：25、圆心在极点，半径为a的方程为：6、经过（a，0）且垂直于极轴的直线方程为：7、经过（a，0）且与极轴所成角为?的直线方程为：

? 练习2、按下列条件写出圆的极坐标方程： (1)以A(3,0)为圆心，且过极点的圆；? (2)以B(8，)为圆心，且过极点的圆；2

(3)以极点O与点C(-4,0)连接的线段为直径的圆；

? (4)圆心在极轴上，且过极点与点D(23，)的圆。65?例题1：求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 4? 2、求过极点，倾斜角为 4 直线的极坐标方程。

求直线的极坐标方程步骤 1. 根据题意画出草图； 2. 设点M(?,?)是直线上任意一点; 3. 连接MO； 4. 根据几何条件建立关于?,?的方程,并化简； 5. 检验并确认所得的方程即为所求.

（四）、极坐标系内的距离问题

1、已知（A2，），（B?3，），求|AB|26S?AOB(o为极点）。???22、曲线方程为?sin（??）?，求42A到该曲线的距离。3、求曲线??2cos?上的点与定点（，1）2的最近距离和最远距离。

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