第九章 偏微分方程差分方法汇总

与古典显格式不同，在差分方程（9.25）的求解中，当第k-1层值{uj}已知时，必须通过求解一个线性方程组才能求出第k层值{uj}，所以称（9.25）式为古典隐格式，它也是双层格式。

差分方程（9.25）的矩阵形式为

kk?1?Buk?uk?1?Fk,k?1,2?,M （9.26） ?0?u??其中

?r?1?2r??r1?2r?? B??????

kk?r?????? ????r??r1?2r??向量u,F,?同（9.23）式中定义。从（9.26）式看到，古典隐格式在每一层计算时，都需求解一个三对角形线性方程组，可采用追赶法求解。

3.Crank-Nicolson格式（六点对称格式）

利用一元函数Taylor展开公式可得到如下等式

?u1u(j,k?1)?u(j,k)(j,k?)??O(?2)?t2? 2 22?u11?u?u(j,k?)?[(j,k)?(j,k?1)]?O(?2)22222?x?x?x使用这两个公式，在(j,k?)点离散偏微分方程（9.14），然后利用（9.20）式进一步离散二阶偏导数，则可导出差分方程

?1uk?ukjjk?1k?1k?1kkk1k?1uj?1?2uj?uj?1uj?1?2uj?uj?1?a[?]?fj2 （9.27） 222hh12?其截断误差为O(??h)，在时间方向的逼近阶较显格式和隐格式高出一阶。这个差分格式称为Crank-Nicolson格式，有时也称为六点对称格式，它显然是双层隐式格式。改写（9.27）式，并补充初始值和边界点方程得到

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?1k?1?1??ruk?rukj?1?2(1?r)ujj?1?1k??kkk2?ru?2(1?r)u?ruj?1jj?1?2?fj? （9.28） ?j?1,2,?,N?1,k?0,1,?,M?1?0?uj??(xj),j?1,2,?,N?1?uk?g(t),uk?g(t),k?0,1,?M1kN2k?0它的矩阵形式为

1k??k?1k?(I?B)u?(I?A)u?F2,k?1,2?,M （9.29） ?0??u??,k?0,1,?,M?1在每层计算时，仍需求解一个三对角形方程组。 4. Richardson格式

利用公式（9.19）和（9.20），可导出另一个截断误差为O(?2?h2)阶的差分方程

?1?1uk?ukjj2??akkukj?1?2uj?uj?1h2?fjk

称之为Richardson格式。可改写为

?1?1kkuk?uk?2r(uk?fjk (9.32) jjj?1?2uj?uj?1)?2这是一个三层显式差分格式。在逐层计算时，需用到uj和uj两层值才能得到k+1层值uj。这样，从第0层已知值uj??(xj)开始，还须补充上第一层值uj，才能逐层计算下去。可采用前述的双层格式计算uj。

除上述四种差分格式外，还可构造出许多逼近偏微分方程（9.14）的差分格式，

但并不是每个差分格式都是可用的。一个有实用价值的差分格式应具有如下性质：

（1）收敛性。对任意固定的节点（xj，tk）,当剖分步长?,h?0时，差分解ujkk?1kk?1011应收敛到精确解u（xj，tk）。

（2）稳定性。当某一时间层计算产生误差时，在以后各层的计算中，这些误差的传播积累是可控制而不是无限增长的。

理论上可以证明，在一定条件下，稳定的差分格式必然是收敛的。因此，这里主要研究差分格式的稳定性。

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作为例子，先考查Richardson格式的稳定性。设uj是当计算过程中带有误差

kk时，按Richardson格式（9.30）得到的实际计算值。误差ekuj是理论值，j?uj?uj。

kkk假定右端项fj的计算是精确的，网比r?1，则ekj满足 2?1?1kk ek?ek?(ekjjj?1?2ej?ej?1) （9.31）

设前k-1层计算时精确的，误差只是在第k层j0点发生，即

?1kek?0,ekjj0??,ej?0,j?j0。

则利用（9.31）式可得到误差?的传播情况，见表9-1。

表9-1 r=1/2时Richardson格式的误差传播

j k k k+1 k+2 k+3 k+4 k+5 k+6 j0-4 0 0 0 0 ε -10ε 71ε j0-3 0 0 0 ε -8ε 49ε -260ε j0-2 0 0 ε -6ε 31ε -144ε j0-1 0 ε -4ε 17ε -68ε 273ε j0 ε -2ε 7ε -24ε 89ε -388ε j0+1 0 ε -4ε 17ε -68ε 273ε j0+2 0 0 ε -6ε 31ε -144ε j0+3 0 0 0 ε -8ε 49ε -260ε j0+4 0 0 0 0 ε -10ε 71ε 641ε -1096ε 1311ε -1096ε 641ε 从表中看出，误差是逐层无限增长的。表中的计算虽然是就网比r?1进行的，2实际上对任何r>0都会产生类似现象，所以Richardson格式是不稳定的。

利用误差传播图表方法考查差分格式的稳定性虽然直观明了，但只能就具体取定的r值进行，并且也不适用于隐式差分格式。

9.2.2 差分格式的稳定性

前节构造的几种双层差分格式都可以表示为如下的矩阵方程形式

?uk?Huk?1?Fk （9.32） ?0?u??其中H称为传播矩阵。对于显格式H=A, 隐格式H=B,六点对称格式H=(I+B) (I+A)。一般的三层格式也可以转化为双层格式。

为了讨论方便，设在初始层产生误差?，且假定右端项F的计算是精确的。用u

0k-1

-1

k

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表示当初始层存在误差?0时，由差分格式（9.32）得到的计算解，则uk满足方程

?uk?Huk?1?Fk （9.33） ?00u?????记误差向量??u?u，则?k满足方程

kkk??k?H?k?1,k?1,2,? （9.34） ?0??为初始误差定义9.1 称差分格式（9.32）是稳定的，如果对任意初始误差?0，误差向量?k在某种范数下满足

k0 ??C?,k?0,0????0 （9.35）

其中C为与h,τ无关的常数。

这个定义表明，当差分格式稳定时，它的误差传播是可控制的。 从（9.34）式递推得到

?k?Hk?0,0?k?因此，差分格式稳定的充分必要条件是

T?

Hk?C,0?k?T? （9.36）

定理9.3 （稳定性必要条件）差分格式稳定的必要条件是存在与h,τ无关的常数M,使谱半径

?(H)?1?M? （9.37）

**定理9.4 （稳定性充分条件）设H为正规矩阵，即HH?HH,则（9.37）

式也是差分格式稳定的充分条件。

下面讨论几种差分格式的稳定性。为便于讨论，引进N-1阶矩阵

?01??101??????? S????101???10???这个特殊矩阵的特征值为

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