高等数学二重点题目

S=∫∫ds=∫∫∑√*1+(z'x)^2+(z'y)^2] dxdy =√5 (∫∫∑ dxdy) =√5(S∑) =√5π

求锥面z=根号(x^2+y^2)被圆柱面x^2+y^2=2x割下部分的曲面面积(是曲面积分)，求详细答案

对于z=f(x,y)，曲面面积为

A=∫∫D dA=∫∫D √*1+(?f/?x)2+(?f/?y)2]dxdy

锥面z=√(x2+y2)被圆柱面x2+y2=2x所割

则积分区域D为：0≤x≤2，-√(2x-x2)≤y≤√(2x-x2) 化为极坐标为：0≤θ≤2π，0≤r≤2cosθ

锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθ ?f/?x=x/r=cosθ，?f/?y=y/r=sinθ (?f/?x)2+(?f/?y)2=cos2θ+sin2θ=1 ∴A=∫∫D √[1+(?f/?x)2+(?f/?y)2]dxdy =∫∫D √*1+1+ rdrdθ

=√2∫<0,2π>*∫<0,2cosθ>rdr+dθ =√2∫<0,2π>*<0,2cosθ>r^2/2+dθ =√2∫<0,2π>*2cos2θ+dθ =√2∫<0,2π>*1+cos2θ+dθ

=√2/2∫<0,2π>*1+cos2θ+d(2θ) =√2/2*<0,2π>(2θ+sin2θ)+ =√2/2*4π-0] =2√2π

锥面z^2=x^2+y^2被圆柱面x^2+y^2=2ax所截部分的曲面面积 解：∵锥面z2=x2+y2被圆柱面x2+y2=2ax所截

∴所截部分的曲面面积在xy平面上的投影是D：x2+y2=2ax ∵αz/αx=x/√(x2+y2)，αz/αy=y/√(x2+y2) ∴dS=√[1+(αz/αx)2+(αz/αy)2]dxdy=√2dxdy 故 所截部分的曲面面积=2∫∫√2dxdy

=2√2∫∫dxdy =2√2*πa2。

求幂级数x^(n+1)/n收敛区间和和函数

ρ=lim(n->∞)|*1/(n+1)+/(1/n)|=lim(n->∞)|n/(1+n)|=1 收敛半径是R=1/ρ=1 当x=1时 ∑*x^(n+1)+/n=∑1/n 级数发散 当x=-1时 ∑*x^(n+1)+/n=∑*(-1)^(n+1)/n] 级数收敛 所以幂级数∑x^(n+1)/n的收敛区间是[-1,1)

令S(x)=∑x^(n+1)/n=x∑(x^n)/n=-xln(1-x) (-1<=x<1)

求幂级数∑(∞ n=1) x^n/n 的收敛域和函数

显然由比值审敛法易知其收敛域为(-1,1)

∑(n+1)/n(x^n)=∑(1+1/n)*x^n=∑x^n+∑(1/n)*x^n=x/(1-x)+∑(1/n)*x^n 令f(x)=∑(1/n)*x^n 则f′(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)

所以f(x)=∫(上x,下0)1/(1-x) dx =-ln(1-x) 所以

∑(n+1)/n(x^n)=x/(1-x)-ln(1-x)

求幂级数∑(∞,n=1)n(n+1)x^n的在其收敛域的和函数

后项比前项的绝对值的极限=|x| 收敛域：|x|<1 级数∑(n=1,∞)x^(n+1)=

x^2/(1-x)=-1-x+1/(1-x)

两边求导： ∑(n=1,∞)(n+1)x^(n)=x^2/(1-x)=-1+1/(1-x)^2 再求导： ∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n-1)=x^2/(1-x)=2/(1-x)^3 所以：∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n)=2x/(1-x)^3 |x|<1

追问

麻烦再问一下，答案第三行级数∑(n=1,∞)x^(n+1)为什么等于x^2/(1-x)？？？？

回答

首项x^2 ，公比x的等比级数求和

求对面积曲面积分： ∫∫(x+y+z)dS ∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2上z≥h(0

法如下：重积分的基础是定积分， 要善于利用积分区域的对称性，奇偶性简化计算，用普通坐标运算，（x+y）部分其实分别是xy的奇函数，积分结果等于0

计算曲面积分 ∫∫(x^2+y^2+z^2）ds，其中 ∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0）

不用那么麻烦

把曲面公式代入被积函数中

∫∫(x^2+y^2+z^2）ds=∫∫a^2ds=(a^2)*4πa^2=4πa^4

追问

但答案是8πa^4

回答

答案是4πa^4，我用不同的方法算了一遍，请看：

被积函数x^2+y^2+z^2关于z是偶函数，而且被积曲面关于xOy平面对称 故∫∫[∑](x2+y2+z2)ds=2∫∫[∑1](x2+y2+z2)ds ∑1是上半球面

原式=2∫∫[D](x2+y2+z2)√[1+(?z/?x)2+(?z/?y)2]dσ D是∑1在xOy平面投影 （?z/?x用-(?F/?x)/(?F/?z)求.） 原式=2∫∫[D](x2+y2+(a2-x2-y2))√(1+x2/z2+y2/z2)dσ =2∫∫[D] a2√(a2/(a2-x2-y2)dσ

化为极坐标

=2*2π*∫[0->a] a2√(a2/(a2-r2)rdr =-2πa3∫[0->a] 1/√(a2-r2)d(a2-r2) =-2πa3[2√(a2-r2)] | [0->a] =4πa^4

应该是答案错了

求曲面积分∮∫x2ydzdx+z2xdydz+y2zdxdy,其中∑为x2+y2=1.z=x2+y2与z=0所围成的封闭曲面的外侧, Gauss公式。

?P/?x + ?Q/?y + ?R/?z = 1 + 1 + 2z - 2 = 2z ∫∫Σ xdydz + ydzdx + (z2 - 2z)dxdy = ∫∫∫Ω 2z dxdydz

= 2∫(0→1) z dz ∫∫Dz dxdy = 2∫(0→1) z * πz2 dz = 2π * (1/4)* z′ +|(0→1) = 2π * (1/4) = π/2

普通方法。Σ?：z = √(x2 + y2)下侧、Σ?：z = 1上侧 ∫∫Σ xdydz + ydzdx + (z2 - 2z)dxdy

= ∫∫Σ? xdydz + ydzdx + (z2 - 2z)dxdy + ∫∫Σ? xdydz + ydzdx + (z2 - 2z)dxdy = - ∫∫D (- P * ?z/?x - Q * ?z/?y + R) dxdy + ∫∫D (1 - 2) dxdy

= - ∫∫D *- x * x/√(x2 + y2) - y * y/√(x2 + y2) + (z2 - 2z)] dxdy - ∫∫D dxdy = - ∫∫D *- x2/√(x2 + y2) - y2/√(x2 + y2) + (x2 + y2) - 2√(x2 + y2)+ dxdy - π(1)2 = - ∫∫D *x2 + y2 - 3√(x2 + y2)+ dxdy - π = - ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) (r2 - 3r)r dr - π = - 2π * *1/4 * r′ - r3+|(0→1) - π = - 2π * (1/4 - 1) - π = π/2

∮∮(下标∑）(xdydz+ydzdx+zdxdy)，其中∑ 为球面 x^2+y^2+z^2=R^2的外侧． 用Gauss公式:

∮∮(下标∑）(xdydz+ydzdx+zdxdy) =∫∫∫【x^2+y^2+z^2<=R^2】3dV =3∫∫∫【x^2+y^2+z^2<=R^2】dV =4πR3

计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy，其中S是旋转抛物面z=(x^2+y^2)/2介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧。 用第二类曲面积分做。 2011-2-7 【最佳答案】

加个盖子S1：x2+y2≤4的上侧. S1和S构成封闭曲面的外侧. 对S1+S应用GAUSS，有 ∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫0dv=0. S1+SΩ

盖子S1的曲面积分中，dz=0,z=2,故 ∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=-2∫∫dxdy=-8π. S1Dxy

∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=0-(-8π)=8π.

计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2(x^2+y^2）介于z=0，和z=2之间部分下侧

不要用两类曲面积分间关系转化为第一类曲面积分做，就直接按第二类曲面积分算下，谢谢 本题最简单的方法是高斯公式 补Σ1：z=2，x2+y2≤4，上侧

则两曲面加起来为封闭曲面，由Gauss公式 ∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫(1-1)dxdydz=0 因此原积分与Σ1上的积分互为相反数

原式=-∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy积分曲面为Σ1：z=2，x2+y2≤4上侧 =-∫∫-2dxdy =2∫∫1dxdy

被积函数为1，积分结果为区域面积：π*22 =8π