2020灞婇珮鑰冩暟瀛?姹熻嫃涓撶敤)浜岃疆澶嶄範涓撻」寮哄寲缁?鍏?瑙ｄ笁瑙掑舰(Word鐗堝惈绛旀��) - 鐧惧害鏂囧簱

42sin（75°－30°）∴AB＝＝8，

sin 30°1

故此船的航行速度是8÷＝16(n mile/h)．

2答案：16

5．(2019·无锡期初检测)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B3

＝sin A＋sin C，cos B＝且S△ABC＝4，则b的值为________．

5

解析：因为2sin B＝sin A＋sin C，由正弦定理得a＋c＝2b，又由余弦定理，

a2＋c2－b2（a＋c）2－2ac－b23b2－2ac3

得cos B＝＝＝＝，由S△ABC＝4得

2ac2ac2ac5

1143b－20346

acsin B＝ac×＝4，所以ac＝10，所以＝，解得b＝. 225205346答案：

3

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．

πππ?π?解析：由sin B＋cos B＝2，得sin?B＋?＝1，所以B＋＝，B＝，由正弦定4?424?

2

理

＝，得sin A＝

sin Asin Bπ答案： 6

aba·sin B＝b2×2

22

1π＝.又因为b>a，所以B>A，所以A＝. 26

7．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，其中ccos∠BAC＋acos∠ACB＝6，b＋c－a＝

2

2

2

7―→―→―→

bc，O为△ABC内一点，且满足OA＋OB＋OC＝0，∠BAO＝30°，则2

―→

|OA|＝________．

7b＋c－a7

解析：因为b＋c－a＝bc，所以cos∠BAC＝＝，所以sin∠BAC＝

22bc4

2

2

2

2

2

2

3―→―→―→21－cos∠BAC＝.又OA＋OB＋OC＝0，所以O为△ABC的重心．

4因为ccos∠BAC＋acos∠ACB＝6，所以b＝6.

取BC的中点D，连接OD，由∠BAO＝30°，得∠BAD＝30°， 111

所以S△BAD＝BA×ADsin∠BAD＝×BA×ACsin∠BAC，

222

113×AC×sin∠BAC×6×2249―→2

所以AD＝＝＝，所以|OA|＝AD＝3.

sin∠BAD123

2答案：3

8.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)

解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足．在Rt△ACD中，AC＝92，在△ABC中，由正

AC9292

弦定理，得BC＝×sin∠BAC＝×sin 37°≈×0.60＝60(m)．

sin∠ABCsin 67°0.92

答案：60

π―→―→

9．在△ABC中，已知AB＝3，C＝，则CA·CB的最大值为________．

3

π

解析：因为AB＝3，C＝，设角A，B，C所对的边为a，b，c，所以由余弦定理得3

3＝a＋b－2abcos

12

2

2

π―→―→22

＝a＋b－ab≥ab，当且仅当a＝b＝3时等号成立，又CA·CB ＝3

―→―→

3

2

abcos C＝ab，所以当a＝b＝3时，(CA·CB)max＝.

3答案： 2

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)－c，则tan C＝________.

解析：因为2S＝(a＋b)－c＝a＋b－c＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)＝4，sinC－4sin Ccos C＋4cosCtanC－4tan C＋44

＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝222

sinC＋cosCtanC＋130(舍去)．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

答案：－

3

2π

11．(2019·如东中学模拟)在△ABC中，A＝，AB＝3，D是BC上靠近点C的三等

3分点，且AD＝1，则AC＝________.

解析：法一：设BD＝2x，DC＝x，AC＝y，x>0，y>0，在△ABD和△ADC中由余弦定理得，

x2＋1－y24x2＋1－32222

＋＝0，化简得y＝3x.在△ABC中，由余弦定理知9x＝3＋y＋3y，联2x4x?y＝3x，立方程得?2

?9x＝3＋y2＋3y，

22

?x＝1，所以?

?y＝3，

故AC＝3.

142―→1―→2―→222

法二：由题意知AD＝AB＋AC，两边平方得AD＝×AB＋×AC＋2×

33999

AB×AC×?－?，得2AC2－3AC－3＝0，得AC＝3.

2

?1???

法三：以点A为坐标原点，AC所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设C(b,0)，

b>0，则B?－

?

?33?―→―→31?3?21?2b?2b，?，易知BD＝2DC，则D?－，?，由AD＝1得?－?＋＝1，22??362??36?4

得b＝3，故AC＝3.

答案：3

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b－c＝1，△ABC的面―→―→

积为3，则AB·AC＝________.

解析：以BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为a＝2，所以B(1,0)，C(－1,0)，设A(x，y)，又

AC－AB＝1

1x△ABC的面积为3，所以×2×yA＝3，即yA＝3，又双曲线方程为21

4

2

5―→―→?55???5

－＝1，代入可得xA＝，所以AB·AC＝?1－，－3?·?－1－，－3?＝－13222????4413＋3＝.

4

y2

13答案：

4

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3b＋3c－23bcsin A，则C＝________.

2

2

2

b2＋c2

解析：因为a＝3b＋3c－23bcsin A＝b＋c－2bccos A，所以＝3sin A－cos

bc2

2

2

2

2

A＝2sin?A－?.

6

??

π?

?

b2＋c2bc又＝＋≥2

bccbbc?π?·＝2(当且仅当b＝c时取等号)，2sin?A－?≤2，当且仅当

6?cb?

2πb2＋c22ππ?π?A＝时取等号，故＝2sin?A－?＝2，所以b＝c，A＝，故C＝.

6?3bc36?

π

答案：

6

14．(2019·海安中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B为锐角，3a＝b＋3c，则tan Atan B＋tan Btan C＋tan Ctan A的最小值为________．

2

2

2

解析：在△ABC中，由余弦定理得，cos A＝

b＋c－a＝2bc222

2??2

b2＋c2－?c＋b?3

1

??

2bc＝，由正弦

3cbsin B定理得，cos A＝，即3cos A·sin C＝sin Acos C＋cos Asin C，2cos Asin C＝sin

3sin CAcos C，tan A＝2tan C，所以tan B＝－tan(C＋A)＝

tan C＋tan A3tan C＝，易知tan 2

tan Ctan A－12tanC－1

C>0，又B为锐角，所以2tan2C－1>0，所以tan Atan B＋tan Btan C＋tan Ctan A＝3tan Ctan

9

2

29tanC1111222

B＋2tanC＝＋2tanC＝＋＋(2tanC－1)≥＋22

2tanC－122tanC－12

92

·2

2tanC－1

2

11＋6232＋222

2tanC－1＝，当且仅当tanC＝时等号成立．

24

11＋62

答案： 2