2018-2019瀛﹀勾閲嶅簡甯傚崡寮�涓�瀛﹂珮浜屼笅瀛︽湡鏈熸湯鏁板�?鐞?璇曢��(瑙ｆ瀽鐗? - 鐧惧害鏂囧簱

P?X?0??1?P?X?3??P?X?4??P?X?6??11 27?X的分布列如下

EX?0?11161616208. ?3??4??6??2781818181【点睛】

本题主要考查二项分布的运用，数学期望与分布列的相关计算，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等. 20．已知函数f(x)?ln(1?x).

?1?证明：

x?f(x)?x； 1?xn?2?已知a1?1,an?1?an?e?a,bn?an?lnn，证明：bn?1?bn.

【答案】?1?证明见解析；?2?证明见解析.

【解析】(1) g?x??f?x??x，于是证明g?x??0即可，左边可由所证得到； （2）即证bn+1-bn<0，表示成含n的表达式，利用数学归纳法可证. 【详解】

?1?令g?x??f?x??x，则g'?x??1?x ?1?x?11?x?g?x?在??1,0?上单调递增，在?0,???上单调递减. ?g?x??g?0??0，即f?x??ln?x?1??x①

Q当x??1时，?x1??1???1 1?x1?xx?x?ln1??? 由①可得，??x?1?x?1?即ln?xx?1??? ln1?x?，即???1?xx?11?x??n?2?bn?1?bn?an?1?ln?n?1??an?lnn?e?a?lnn?1 n第 13 页 共 18 页

1n?11?1?nln?ln1???1 由??可知??1nn?1?n?1?n?bn?1?bn?e?an?lnn?1?an1② ?e?nn?1下面用数学归纳法证明an?ln?n?1? 当n?1时，a1?1?ln2，结论成立； 假设n?k时，结论成立，即ak?ln?k?1?； 当n?k?1时，ak?1?ak?e?x?an

?x设h?x??x?e，其中x?0，则h'?x??1?e?0

?h?x?在?0,???上单调递增

又an?1?an?e?an?0，数列?an?单调递增，故an?0

?由归纳假设和?1?中结论

ak?1?ak?e?an?ln?k?1??e?ln?k?1??ln?k?1??1 k?11???ln?k?1??ln?1???ln?k?2?

?k?1??n?k?1时结论成立，即an?ln?n?1?

结合②可得bn?1?bn?e即bn?1?bn. 【点睛】

本题主要考查利用导数证明不等式，数列与数学归纳法的运用，意在考查学生 的分析能力，转化能力，计算能力，难度较大.

21．已知抛物线C:y2?2px的焦点为F，圆?：x2?y2?2x?3?0与y轴的一个交点为A，圆?的圆心为E，?AEF为等边三角形.

?an?11?e?ln?n?1???0， n?1n?1?1?求抛物线C的方程；

?2?设圆?与抛物线C交于U,V两点，点P?x0,y0?为抛物线C上介于U,V两点之间

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的一点，设抛物线C在点P处的切线与圆?交于M,N两点，在圆?上是否存在点Q，使得直线QM、AN均为抛物线C的切线，若存在求出Q点坐标（用x0,y0表示）；若不存在，请说明理由.

?x0?32y0?Q,?【答案】?1?y?4x；?2?存在,??.

x?1x?10?0?2【解析】(1)由题意EF?p，从而求得抛物线方程；

（2）设M?x1,y1?,N?x2,y2?，可设出切线方程lQM及lQN，并设出过点M的直线

x?x1?t?y?y1?与抛物线C相切，从而联立抛物线知??0，同理，可表示过点N的

切线，从而计算两直线相交的交点，于是可得答案. 【详解】

?1?QVAEF是等边三角形，

?原点O为E,F中点，?半径EF?p

2圆?:?x?1??y2?4，半径EF?p?2，抛物线C:y?4x.

2?2?设M?x1,y1?,N?x2,y2?，过点M,N作抛物线C的两条切线（异于直线MN）交

于点Q，并设切线lQM:x?x1?t1?y?y1?，lQN:x?x2?t2?y?y2? 由替换法则，抛物线C在点P?x0,y0?处的切线方程为y0y?2?x0?x? 即lMN:x?y0yy?x0,记t0?0① 222设过点M的直线x?x1?t?y?y1?与抛物线C相切，代入抛物线方程y?4x得

y2?4ty?4ty1?4x1?0

???16t2?16?ty1?x1??0，即t2?y1t?x1?0

?t0t1?x1根据韦达定理?，

t?t?y1?01由①可得，t1?y2x1?y1?0 ?2y1y0?4x1?y02② y022x2 y0第 15 页 共 18 页

同理可得，t2??切线lQM:x?x1?2x1?y?y1?③ y0lQN:x?x2?2x2?y?y2?④ y0联立lMN:x?y0y?x0与圆可得，y02?4x2?8x0?2y02x?4x02?3y02?0 2????4x02?3y024x02?12x0x0?x0?3??? 韦达定理可得x1?x2?y02?44?x0?1?x0?18x0?2y028x0?8x04x0x1?x2??????，

y02?44?x0?1?x0?1联立③、④并代入可求得xQ?所以

2y04x1x2x0?3?y??③ . ，代入可求得Q2y0x0?1x0?1?xQ?1??yQ222?x?3??2y0??1??????0??x?1x?1?0??0?222?2x0?2??4y02??2x0?2??16x022?x0?1??x0?1??4

?x0?32y0?QM,QNQ,?Q即切线的交点在圆?上，故存在圆上一点??满足

x?1x?10?0?QM,QN均为抛物线C的切线.

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力，分析能力，转化能力，难度较大.

22．在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的直角坐标方程为x?y?4x?0.

22?1?求圆C的极坐标方程；

?2?设圆C与圆?：?2?2?cos??2【答案】?1?

3?sin??12交于A,B两点，求AB.

?=4cos?；?2?4.

?x??cos?【解析】（1）直接通过?即可得到答案；

y??sin??第 16 页 共 18 页