2018版 江苏高考预测试题（一）

1

由(1)知，Sn＝2n(1＋2n－1)＝n2. 1

因为Sn＞Tn，所以n2＞nb1＋2n(n－1)d， 即(2－d)n＋d－2b1＞0恒成立， ?2－d≥0，?d≤2，所以?即?

?d－2b1＞0，?2b1＜d，又由S1＞T1，得b1＜1，

所以an－bn＝2n－1－b1－(n－1)d＝(2－d)n＋d－1－b1≥2－d＋d－1－b1＝1－b1＞0.

所以an＞bn，得证.

8分

法二：设{bn}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，使得an0≤bn0， 则a1＋2(n0－1)≤b1＋(n0－1)d，即a1－b1≤(n0－1)(d－2)， 因为a1＞b1，所以d＞2.

1?1?1?2?2

d－1b－???所以Tn－Sn＝nb1＋2n(n－1)d－n＝2n＋12d?n， ????

1

因为2d－1＞0，所以存在Nn0∈N*，当n＞Nn0时，Tn－Sn＞0恒成立． 这与“对任意的n∈N*，都有Sn＞Tn”矛盾． 所以an＞bn，得证.8分

(3)由(1)知，Sn＝n2，因为{bn}为等比数列， 且b1＝1，b2＝3，

所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列． 1

所以bn＝3n－1，Tn＝2(3n－1)．

an＋2Tn2n－1＋3n－13n＋2n－26n2－2n＋2则＝n－1＝n－1＝3－n－1， bn＋2Sn3＋2n23＋2n23＋2n2因为n∈N*，所以6n2－2n＋2＞0，所以而ak＝2k－1，所以

an＋2Tn

＜3.

bn＋2Sn

an＋2Tn

＝1，即3n－1－n2＋n－1＝0(*)．

bn＋2Sn

当n＝1,2时，(*)式成立；

当n≥2时，设f (n)＝3n－1－n2＋n－1，

/

则f (n＋1)－f (n)＝3n－(n＋1)2＋n－(3n－1－n2＋n－1)＝2(3n－1－n)＞0， 所以0＝f (2)＜f (3)＜?＜f (n)＜?， 故满足条件的n的值为1和2.16分

数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题](本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．．．．．．．．．答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说．．．．．．．．明、证明过程或演算步骤)

图6

A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图6，已知AB，CD是圆O两条相互垂直的直径，弦DE交AB的延长线于点F，若DE＝24，EF＝18，求OE的长． [解] 设半径为r，由切割线定理，

得FB·FA＝FE·FD，即18×42＝FB·(FB＋2r)， 在三角形DOF中，由勾股定理，得DF2＝OD2＋FO2， 即(18＋24)2＝r2＋(r＋BF)2. 由上两式解得r＝614. 所以OE＝614.

B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

?2 m??1??0??1?

?的两个特征向量α1＝??，已知矩阵M＝?α2＝??，若β＝??，求M2β. ?n 1??0??1??2?[解] 设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，

?Mα1＝λ1α1，

则由?可解得m＝n＝0，λ1＝2，λ2＝1，

?Mα2＝λ2α2，?1??1??0?

又β＝??＝??＋2??＝α1＋2α2，

?2??0??1?

/

10分

2

所以M2β＝M2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ2α2

?1??0??4?＝4??＋2??＝??.

?0??1??2?

C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 2

?x＝－1＋?2t，

已知直线l的参数方程为?

2?y＝?2t10分

(t为参数)，以坐标原点为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ，若直线l与曲线C相交于A，B两点．求线段AB的长． [解] 由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcos θ，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.

直线l的方程化成普通方程为x－y＋1＝0.圆心到直线l的距离为 d＝

|－1－1＋1|2

＝2. 2

?2?

2－??2＝6.10分 ?2?

所求弦长L＝2D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) x

解不等式|x＋3|－|2x－1|＜2＋1.

x

[解] ①当x＜－3时，原不等式转化为－(x＋3)－(1－2x)＜2＋1， 解得x＜10，∴x＜－3.

1x2

②当－3≤x＜2时，原不等式转化为(x＋3)－(1－2x)＜2＋1，解得x＜－5， 2

∴－3≤x＜－5.

1x

③当x≥2时，原不等式转化为(x＋3)－(2x－1)＜2＋1，解得x＞2，∴x＞2.

???2?x＜－或x＞2?综上可知，原不等式的解集为x5???

??

?. ??

10分

[必做题](第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

/

22．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落xx

于桌面，记所得数字分别为x，y.设ξ为随机变量，若y为整数，则ξ＝0；若y为x

小于1的分数，则ξ＝－1；若y为大于1的分数，则ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．

x

[解] (1)依题意，数对(x，y)共有16种，其中使y为整数的有以下8种： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)， 81

所以P(ξ＝0)＝16＝2；4分

(2)随机变量ξ的所有取值为－1,0,1，

ξ＝－1有以下6种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)， 63

故P(ξ＝－1)＝16＝8，

21

ξ＝1有以下2种：(3,2)，(4,3)，故P(ξ＝1)＝16＝8， 311

∴P(ξ＝0)＝1－8－8＝2， ∴ξ的分布列为：

ξ P －1 38 0 12 1 18 3111

ξ的数学期望为E(ξ)＝－1×8＋0×2＋1×8＝－4.10分

23．(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连接A′B. (1)求抛物线C的标准方程；

(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

【导学号：56394120】

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图7

[解] (1)将点(2,1)代入抛物线C：x2＝2py的方程得，p＝2. 所以，抛物线C的标准方程为x2＝4y.

2分

(2)设直线l的方程为y＝kx－1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)． 1??y＝x2，由?4??y＝kx－1，

得x2－4kx＋4＝0.

6分

则Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝4k.

2

x22x14－4x2－x1y2－y1

所以kA′B＝＝＝4. x2－?－x1?x1＋x2

x22x2－x1

于是直线A′B的方程为y－4＝4(x－x2)． x2－x1x22x2－x1

所以y＝4(x－x2)＋4＝4x＋1. 当x＝0时，y＝1， 所以直线A′B过定点(0,1).

10分

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