高数上册第三章微分中值定理和导数的应用习题答案

《高等数学教程》第三章 习题答案

习题3-1 (A)

1. ??43 2. ??4??1

习题3-2 (A)

11. (1)13 (2) ?18 (3)3(4)1(5)12(6)?(7)11?2(8)?3(9)1(10)e3(11)e(12)1 习题3-2 (B)

1. (1)14(2)1128(3)23(4)?12e(5)?2(6)0(7)1e(8)a1a2?an

2. 连续

4. f??(a) 5. (1)a?g?(0)

?x[g?(x)?sinx]?[g(x)?cosx]x?0 (2)f?(x)????x2

?1??2[g??(0)?1]x?0 (3) 处处连续.

习题3-3

1. f(x)??56?21(x?4)?37(x?4)2?11(x?4)3?(x?4)4 2. f(x)?x6?9x5?30x4?45x3?30x2?9x?1

3. tanx?x?13x3?sin(?x)[sin2(?x)?2]3cos5(?x)x4,(0???4)

4.

x?2?11115(x?44(x?4)?64(x?4)2?512(x?4)3?)44!16[4??(x?4)](0???1)

1

xx?x2?x321???xn5. xe?(n?1)!?O(xn)(0???1)

6. e?1.645

7. (1)330?3.10724;R?53?1.88?10(2)sin180?0.3090;R3?1.3?10?4

8. (1)32(2)12(3)?112 习题3-4 (A)

1. 单调减少 2. 单调增加

3. (1)在(??,332)内单调上升；在(2,??)内单调下降.

(2)在(0,2]内单调减少在；[2,??)内单调增.加 (3)在(??,??)内单调增.加

(4)在(??,12)内单调减少在；(12,??)内单调增.加 (5)在[0，n]上单调上升在；[n,??)内单调下.降

7. (1) 凸 (2) 凹 （3）在(??,0]内凹，在[0,??)内凸 （4）凹 8. （1）在(??,2]内凸，在[2,??)内凹，拐点（2，?8） （2）在(??,2]内凸，在[2,??)内凹，拐点（2，2e2） （3）在(??,??)内凹，无拐点

（4）在(??,?1]，[1，??）内凸，在[?1，1]内凹，拐点（：?1，ln2）（;1，ln2） （5）在(??,1]内凹，在[112,??)内凸，拐点（2，earctan32） （6）在(??,?1]、[0,1]凸，在[?1,0]、[1，??）凹，拐点（0，0） 9. a??293,b?2

10. a = 3, b = -9, c = 8

11. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16

2

习题3-4 (B)

1. (1)在(??,0)、(0,12)、(1,??)内单调减少；在(12,1)内单调增加.

(2)在[k?k??k??k??2,2?3]内单调上升在；[2?3,2?2]内单调下.降 (3)在(??,23a]、[a,??)内单调上升在；[23a,a]内单调下.降 2. (1)a?1e时无实根(2)0?a?11e时有两个实根(3)a?e是有一个实根.

3. 在(0,?2)内只有一个实根.

8. 当k?0及k?239时. 9. 在(??,b]凹，在[b,??)凹，拐点（b,a2） 12. k??28 习题3-5 (A)

1. (1)极大值y(0)?5,极小值y(2)?1.

(2)极大值y(2)?4e?2,极小值y(0)?0. (3)极大值y(4)?1,极小值y(16)?25.

(4)极大值y(125)?110205.

(5)极大值y(354)?4.

(6)极小值y(0)?0. (7) 没有极值. 1 (8)极大值y(e)?ee.

(9)极大值y(1)?3.

(10)极大值y(12)?813818,极小值y(?1)?y(5)?0.

2. (1)最大值y(3)?11,最小值y(2)??14.

3

1 (2)最大值y(1)?2e?e?1,最小值y(?ln2)?22.

21 (3)最大值y(1)?0,最小值y()??ln2.

43. 提示：可导函数的极值点必为驻点，所以可证明y?在题设条件下无驻点. 4. 最大值y(1)??29. 5. 最小值y(?3)?27.

26. a?2,f()?3为极大值.

317. a??2,b??.

28. 长为100m，宽为5m.

9. r?3vv,h?23;d:h?1:1. 2?2?10. 圆的周长为?a?a，正方形周长为. 4??4??811. 锥体的高为h?4a时，最小体积为?a3.

3612. 应在公路右方7公里处.时间为1.22小时.

713. (1)x?1000(2)x?6000.

14. 定价为3.75元，进货量为600件，每天最大利润为450元. 15. p?101,利润167080.

习题3-5 (B)

13,b??,c?0,d?1 442. x = 1为极小点，y(1) = 1为极小值

3. 当c = 1时，a = 0，b = -3，当c = -1时，a = 4，b = 5.

1. a?4. P(x)?x3?6x2?9x?2

5. (1) f (x) 在x = 0处连续；(2) 当x?6. 当x0?1时，f (x) 取极小值；当 x = 0时f (x) 取极大值. e13时，三角形面积最小

4