2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.8 抛物线 (含解析)

∴Δ＝16k2－16＝0，∴k＝±1， ∴m的最小值为

2

. 2

直线与抛物线

3

例4 (2019·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，

2与x轴的交点为P.

(1)若AF＋BF＝4，求l的方程； →→

(2)若AP＝3PB，求AB.

3

解 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

23?

(1)由题设可得F??4，0?， 3故AF＋BF＝x1＋x2＋，

25

又AF＋BF＝4，所以x1＋x2＝.

2

3??y＝2x＋t，由?可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， ??y2＝3x，1令Δ>0，得t<，

212?t－1?

则x1＋x2＝－.

912?t－1?57从而－＝，得t＝－. 928

37

所以l的方程为y＝x－，即12x－8y－7＝0.

28

→→

(2)由AP＝3PB可得y1＝－3y2， 3??y＝2x＋t，由?可得y2－2y＋2t＝0， ??y2＝3x，

所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3， 1代入C的方程得x1＝3，x2＝，

31413，－1?，故AB＝即A(3,3)，B?. ?3?3

思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．

提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． (4)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 p2

①x1x2＝，y1y2＝－p2.

4

2p

②弦长AB＝x1＋x2＋p＝2(α为弦AB的倾斜角)．

sinα③以弦AB为直径的圆与准线相切．

④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．

跟踪训练3 (2020·汉中模拟)已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1,0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C. (1)求曲线C的方程；

(2)若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程． 解 (1)由已知可得，PN＝PM，

即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，

∴曲线C的方程为y2＝4x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，

??y＝kx＋m，由?2得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0， ??y＝4x，

4－2kmx1＋x22－km

∴x1＋x2＝，∴x＝＝2， 0

k22k2－km22

y0＝kx0＋m＝，即D?2，?，

kk??k

∵直线l2与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D， ∴DE2＝6，且DE⊥l2， 从而?

2－km?2?2?2

k＝－1，

?k2－3?＋?k?＝6，kDE·

2

km

－3＝－2，?2－k

即?

?2－km－3?＋?2?＝6，??k??k?2

2

2

2?2整理可得??k?＝2，即k＝±2，∴m＝0， 故直线l2的方程为2x－y＝0或2x＋y＝0.