2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.8 抛物线 (含解析)

焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

跟踪训练1 (1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________． 答案

5

解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．

于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，

显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－?－1?]2＋?0－1?2＝5. (2)(2019·衡水中学调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A．y2＝4x B．y2＝36x

C．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x 答案 C

解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，±6)．

p?p

，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10.① 因为P到抛物线的焦点F??2?2

因为P在抛物线上，所以36＝2px0.②

由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.

抛物线的几何性质

例3 (1)(2019·广西四校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A．4 B．9 C．10 D．18 答案 C

p?p

，0，准线方程为x＝－. 解析 抛物线y2＝2px的焦点为??2?2p

由题意可得4＋＝9，解得p＝10，

2所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.

(2)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) 3393639A. B. C. D.

48324答案 D

3?解析 由已知得焦点坐标为F??4，0?， 因此直线AB的方程为y＝即4x－43y－3＝0.

方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得 4y2－123y－9＝0， 9则yA＋yB＝33，yAyB＝－，

4

3?3?x－， 3?4?故|yA－yB|＝?yA＋yB?2－4yAyB＝6. 1139

因此S△OAB＝OF·|yA－yB|＝××6＝. 2244

219

方法二 联立直线方程与抛物线方程得x2－x＋＝0，

21621

故xA＋xB＝.

2

213

根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝＋ 22＝12，

同时原点到直线AB的距离为d＝19

因此S△OAB＝AB·d＝.

24

(3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则△ABF的周长的取值范围是________．

3

＝，

42＋?－43?28|－3|

答案 (8,12)

解析 设A(xA，yA)，B(xB，yB)． 抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)， 由抛物线定义可得AF＝xA＋2，

圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4， ∴△FAB的周长为

AF＋AB＋BF＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，

由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，∴xB∈(2,6)，∴6＋xB∈(8,12)．

∴△ABF的周长的取值范围是(8,12)．

思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

跟踪训练2 (1)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为( ) 621824222A. B. C. D.

7777答案 C

解析 设P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故PM＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为(8,42)，所以kPF＝

0－4242

＝. 71－8

1

(2)(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A是抛物线y＝x2

4的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足PF＝m·PA，则m的最小值为________． 答案

2

2

解析 过P作准线的垂线，垂足为N，

则由抛物线的定义可得PN＝PF， PN

∵PF＝m·PA，∴PN＝m·PA，则＝m，

PA设PA的倾斜角为α，则sin α＝m，

当m取得最小值时，sin α最小，此时直线PA与抛物线相切， 设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y， 可得x2＝4(kx－1)，即x2－4kx＋4＝0，