2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.8 抛物线 (含解析)

答案 AB

解析 若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由点A在抛物线上，1?2112＝得?＝a，即a＝，得yx，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准?4?16161165

线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为xA＋＝1＋＝；若抛物线的焦点在y轴上，

6464641

则设抛物线的方程为x2＝by(b≠0)，由点A在抛物线上，得1＝b，即b＝4，得x2＝4y，由

4抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距15

离为yA＋1＝＋1＝. 44

7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________． 答案 [－1,1]

解析 Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1.

抛物线的定义和标准方程

命题点1 定义及应用

例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3,2)，则PB＋PF的最小值为________． 答案 4

解析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则P1Q＝P1F.

则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4， 即PB＋PF的最小值为4.

本例中的B点坐标改为(3,4)，则PB＋PF的

最小值为________． 答案 25

解析 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．

∵PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)， ∴PB＋PF≥BF＝22＋42＝25， 即PB＋PF的最小值为25.

若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2

＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________． 答案 32－1

解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)． 点P到y轴的距离d1＝PF－1， 所以d1＋d2＝d2＋PF－1.

易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离， 故d2＋PF的最小值为＝32，

12＋?－1?2|1＋5|

所以d1＋d2的最小值为32－1. 命题点2 求标准方程

例2 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( ) A．x2＝－12y或y2＝16x C．x2＝9y或y2＝12x 答案 A

解析 对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．

当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， p

则＝3，所以p＝6， 2

此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；

当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， p

则＝4，所以p＝8， 2

此时抛物线的标准方程为y2＝16x.

故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.

(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x 答案 C

p?pp，0，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，解析 由题意知，F??2?225yM?5yM25

，，所以圆的方程为?x－?2＋?y－?2＝，又因为圆过设以MF为直径的圆的圆心为??22??2??2?4p

5－?，解得p＝2或p＝8，所以抛点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p??2?物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x， 故选C.

思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想

B．y2＝2x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16x D．x2＝－9y或y2＝－12x