2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.8 抛物线 (含解析)

§8.8 抛物线

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质

标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 对称轴 焦点 坐标 离心率 准线 方程 范围 开口 方向 焦半径 通径长

px＝－ 2x≥0，y∈R 向右 px0＋ 2px＝ 2x≤0，y∈R 向左 p－x0＋ 22p p?F??2，0? x轴 p－，0? F??2?e＝1 py＝－ 2y≥0，x∈R 向上 py0＋ 2py＝ 2y≤0，x∈R 向下 p－y0＋ 2p0，? F??2?O(0,0) y轴 p0，－? F?2?? 概念方法微思考

1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F且与l垂直的直线．

2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？

提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) a?

(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是??4，0?，准线方a

程是x＝－.( × )

4

(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么

抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ ) 题组二 教材改编

2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则PQ等于( )

A．9 B．8 C．7 D．6 答案 B

解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，PQ＝PF＋QF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.

3．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( ) 1314

A．2 B. C. D．3

55答案 A

解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即

|3＋7|

＝2.故选A.

32＋42

4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y2＝－8x或x2＝－y

解析 设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)． 将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 题组三 易错自纠

5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( ) A．y2＝±22x C．y2＝±4x 答案 D

解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)． p设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝2，

2所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.

1

1，?，则点A到此抛物线的焦点的6．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A??4?距离可以是( ) 65599

A. B. C. D. 64448

B．y2＝±2x D．y2＝±42x