平面向量的基本概念及线性运算 教案

ab

共线且方向相反时，能使＋＝0成立.对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与

|a||b|b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直.

2.给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；

→→

②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是( ) A.②③ 【答案】A

【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

→→→→→→

②正确.∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四→→

边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB|＝|DC|， →→→→→→AB∥DC且AB，DC方向相同，因此AB＝DC.

③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.

综上所述，正确命题的序号是②③.

x→→→→→

3.在锐角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则＝________.

y【答案】3

→→→3→→3→→→3→1→

【解析】由题设可得AM＝CM－CA＝CB＋AC＝(AB－AC)＋AC＝AB＋AC，

444431x

则x＝，y＝.故＝3.

44y

4.设两个非零向量a与b不共线.

B.①②

C.③④

D.②④

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→→→

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 【答案】(1)见解析，(2) k＝±1

→→→

【解析】(1)∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).

→→→→→→

∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.

(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. 巩固

1.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若→→→→

AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为( )

A.1 【答案】B

→1→→1→→m→n→

【解析】∵O为BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN，

2222mn

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.

22

―→―→―→

2.设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2. (1)求证：A，B，D三点共线；

―→

(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

B.2

C.3

D.4

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【答案】(1)见解析，(2) k＝12

―→―→―→

【解析】(1)证明：由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ―→―→―→―→―→

∵AB＝2e1－8e2，∴AB＝2BD.又∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．

―→―→―→―→

(2)由(1)可知BD＝e1－4e2，∵BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴存在实数λ，使BF＝λBD，

??λ＝3，

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得?解得k＝12.

?－k＝－4λ.?

3.给出下列命题：

?的充要条件是|???|且???； ①???＝???|＝|???//???同向，且|???|，则???； ②若向量???与???|>|???>??

③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ?平行，则向量???的方向相同或相反； ④若向量???与向量???与??⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________． 【答案】⑤

?是相反向量时，满足|???|且???，但???，故①假； 【解析】①当???与???|＝|???//???≠??②向量不能比较大小，故②假； ?与任意向量平行，故③假； ③0

?中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假； ④当???与??⑤由相等向量定义知，⑤真； ?的相反向量仍是0?，故⑥假． ⑥0 拔高

→→→

1.设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________. 9

【答案】－

4

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→→

【解析】由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD. →→→

又AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，

→→→

所以BD＝CD－CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，

??3＝λ（3－k），9

又e1与e2不共线，所以?解得k＝－.

4??2＝－λ（2k＋1），

2.生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上。”这就是著名的欧拉线定理，在????????中，??,??,??分别是外心、垂心和重心，??为????? +????? +????????? =0；????边的中点，下列四个结论：（1）????=2????；（2）????????（3）????=2????；（4）??????????=??????????=??????????正确的个数为（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】D 【解析】

????????中，??,??,??分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示； 对于（1），根据欧拉线定理得????=2????，选项（1）正确；

???? +????? +????????? =0，选项（2）正确； 对于（2），根据三角形的重心性质得?????????对于（3），∵????∥????，∴△??????∽△??????，∴对于（4），过点??作????⊥????，垂足为??，则的面积为??△同理，??△故选D．

??????

1

1

????

????????

=

????????

=2，∴????=2????， 选项（3）正确；

????1

=

????????

=，∴△??????

31

1

=2×????×????=2×????×3×????=3??△??????；

??????

??????

=??△

=3??△??????， 选项（4）正确．

1

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