2.2.2 椭圆的几何性质

2.2.2 椭圆的几何性质

一、基础过关

x2y2

1． 已知点(3,2)在椭圆2＋2＝1上，则下列说法正确的是________(填序号)．

ab

①点(－3，－2)不在椭圆上； ②点(3，－2)不在椭圆上； ③点(－3,2)在椭圆上；

④无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上．

2． 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为

________________________________________________________________________． 3． 椭圆x2＋4y2＝1的离心率为________．

1

4． 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程

2

是___________________________________________________________________． 5． 椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是________．

x2y2x2y2

6． 已知椭圆2＋2＝1和2＋2＝k (k>0，a>0，b>0)，下列说法正确的序号为________．

abab

①相同的顶点； ②相同的离心率； ③相同的焦点； ④相同的长轴和短轴． 7． 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： 2

(1)离心率是，长轴长是6.

3

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

二、能力提升

x2y2

8． 过椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2

ab＝60°，则椭圆的离心率为________．

3

9． 若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m＝_________________________________.

210．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．

3

11．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m (m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、

2焦点坐标、顶点坐标．

x2y2

12．已知椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，

ab

b

如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.

7三、探究与拓展

x2y2

13．已知椭圆2＋2＝1 (a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，过椭圆的中心O的直线交椭圆

ab

→→→→→→

于B、C两点，且AC·BC＝0，|OC－OB|＝2|BC－BA|，求此椭圆的方程．

答案

3y2x21

1． ③ 2． (0，±69) 3． 4． ＋＝1 5． 6． ②

2644847． 解 (1)设椭圆的方程为

x2y2y2x2

＋＝1 (a>b>0)或2＋2＝1 (a>b>0)． a2b2ab

c2

由已知得2a＝6，e＝＝，∴a＝3，c＝2.

a3

∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.

x2y2x2y2

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

955922xy

(2)设椭圆方程为2＋2＝1 (a>b>0)．

ab

如图所示，

△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，

x2y2

故所求椭圆的方程为＋＝1.

189

38． 31

9． 或4 10．2－1

4

x2y2

11．解 椭圆方程可化为＋＝1，

mm

m＋3

m?m＋2?m

m－＝>0，

m＋3m＋3mm

∴m>，即a2＝m，b2＝，

m＋3m＋3

∴c＝a2－b2＝由e＝

3，得2

m?m＋2?

. m＋3m＋23＝， m＋32

2

解得m＝1，

y2

∴椭圆的标准方程为x＋＝1，

14

13

∴a＝1，b＝，c＝，

22∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，

3

两焦点坐标分别为F1?－，0?，

?2?

F2?

3?

，

?2，0?

110，－?，B2?0，?. 顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1?2???2?12．解 由A(－a,0)，B(0，b)，

b

得直线AB的斜率为kAB＝，

a

b

故AB所在的直线方程为y－b＝x，

a即bx－ay＋ab＝0.

|－bc＋ab|b

又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝＝，

7a2＋b2∴7·(a－c)＝a2＋b2，

c?2c

又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，即8?－14＋5＝0， ?a?a∴8e2－14e＋5＝0，

15

∴e＝或e＝(舍去)．

24

1综上可知，椭圆的离心率为e＝.

2

→→→→

13．解 ∵|OC－OB|＝2|BC－BA|，

→→∴|BC|＝2|AC|. →→又AC·BC＝0，∴AC⊥BC.

∴△AOC为等腰直角三角形． ∵OA＝2，

∴C点的坐标为(1,1)或(1，－1)， ∵C点在椭圆上，a＝2， 114∴＋2＝1，b2＝. 4b3x2y2

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

44

3