人教版数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教案设计

人教版数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教案设计

《勾股定理的逆定理》教案

一、内容和内容解析

1．内容

勾股定理的逆定理． 2．内容解析

本节课是在上节“勾股定理”之后，继续学习的直角三角形的一个判定定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一．本节课从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方），从而发现画出的三角形是直角三角形．猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2，把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念．接着探究证明命题2的思路，用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念．命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况，为了防止学生由此误认为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立．所以，本节课的重点是如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理．

（2）掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：通过对勾股定理的逆定理的探索，让学生经历证明勾股定理逆定理的过程，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．

达成目标（2）的标志是：通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题，同时感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系．

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三、教学问题诊断分析

本学期，虽然学生的知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智力状况，学生不容易想到，不太容易理解．所以本节课的难点是勾股定理的逆定理的证明．

四、教学过程设计

（一）复习导入(播放视频《勾股定理的逆定理》导入，引入新课．)

（1）总结直角三角形有哪些性质．

（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？ 学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆． （1）直角三角形的性质： ①有一个角是直角； ②两个锐角互余；

③两直角边的平方和等于斜边的平方；

④在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半． （2）①有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．

②如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形． 前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b和斜边c具有一定的数量关系，即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判断它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？

设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现问题、反思问题的能力．

（二）探究新知(也可播放视频《勾股定理的逆定理》知识点)

1．据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．

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这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，它们满足关系“32＋42＝52”，那么围成的三角形是直角三角形．

画画看，如果三角形的三边分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52＋62＝6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm、7.5 cm、8.5 cm，再试一试．

让学生在小组内合作交流，完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发． 我们不难发现上图中，第（1）个结到第（4）个结是3个单位长度，即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因为32＋42＝52，所以我们围成的三角形是直角三角形．

如果三角形的三边分别是2.5 cm，6 cm，6.5 cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5 cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．

再换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三角形，可以发现8.5 cm的边所对的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．

是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？

由上面的几个例子，我们猜想：

命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直角三角形”的结论，培养学生的动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．

2．命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 这两个命题的题设和结论各有何关系？

我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．

我们前面遇到过互逆命题吗？

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我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题；“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题；“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题．

设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题． 3．对于命题2和命题1，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？ 让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．

△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？

我们画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°（如下图），把画好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它们重合吗？

AA'cbbBaCB'aC'

我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'2＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即A'B'＝c． △ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝90°，即△ABC为直角三角形．

这样我们就证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据．勾股定理和勾股定理的逆定理互为逆定理．

一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．

设计意图：由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，大家才能放心的用．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力．

（三）例题解析

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