概率论与数理统计论文

设(X,Y)为二维随机变量，随机变量(X,Y)的协方差定义为

cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]．

计算协方差常用下列公式：

cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)．

当X?Y时，cov(X,Y)?cov(X,X)?D(X)．

协方差具有下列性质：

6.1 cov(X,c)?0 (c是常数)；

6.2 cov(X,Y)?cov(Y,X)；

6.3

cov(kX,lY)?klcov(X,Y) (k,l是常数)；

6.4 cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y)

7．相关系数

随机变量(X,Y)的相关系数定义为

相关系数?XY反映了随机变量X与Y之间线性关系的紧密程度，当|?XY|越大，X与Y之间的线性相关程度越密切，当?XY?0时，称X与Y不相关．

相关系数具有下列性质：

7.1 |?XY|?1；

7.2 |?XY|?1的充要条件是P(Y?aX?b)?1，其中a,b为常数；

7.3 若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，即?XY?0，但由?XY?0不能推断X与Y独立．

7.4下列5个命题是等价的： ．

7.4.1 ?XY?0；

7.4.2 cov(X,Y)?0；

7.4.3 E(XY)?E(X)E(Y)；

7.4.4 D(X?Y)?D(X)?D(Y))；

7.4.5 D(X?Y)?D(X)?D(Y)．

利用协方差或相关系数可以计算

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)．

8．原点矩与中心矩

kE(X)； k 随机变量X的阶原点矩定义为

kE[(X?E(X))]]； kX 随机变量的阶中心矩定义为

klE(XY)； (X,Y)(k,l) 随机变量的阶混合原点矩定义为

kl 随机变量(X,Y)的(k,l)阶混合中心矩定义为E[(X?E(X))(Y?E(Y))]．

一阶原点矩是数学期望E(X)；

二阶中心矩是方差D(X)；

(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(X,Y).

9．常用分布的数字特征

9.1当X服从二项分布B(n,p)时，

E(X)?np,D(X)?np(1?p)．

9.2 当X服从泊松分布p(?)时，

E(X)??,D(X)??，

9.3 当X服从区间(a,b)上均匀分布时，

9.4 当X服从参数为?的指数分布时，

2N(?,?)时， 9.5 当X服从正态分布

E(X)??,D(X)??2．

22N(?,?,?,?,?)时， (X,Y)1212 9.6 当服从二维正态分布

E(X)??1,D(X)??12；

E(Y)??2,D(Y)??22；

上面讲了那么多的知识点，看起来很是繁琐，个人认为重点是期望、方差、协方差、相关系数的概念、计算和性质；常用分布的数字特征；利用性质计算随机变量函数的期望。

从随机变量的数字特征的引出中，我们可以知道研究随机变量的数字特征可以简化某些实际问题的解答，可以从总体上掌握随机变量某一侧面的性质,下面讲讲上述内容的应用

二， 三，总结

参考文献?

[1]??魏宗舒等编，概率论与数理统计（第二版）北京：高等教育出版社.?

[2]??盛举，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计（第三版）北京：高等教育出版社

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[3]??毛纲元，概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M],武汉：华中理工大学出版社

2000:523-530.?

[4]??茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程[M]，高等教育出版社，2004