概率论与数理统计论文

概率论与数理统计论文

引言：

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科，是对随机现象和统计规律进行演绎和归纳的一门科学，在现实生活中有很广泛的应用。例如：天气预报，地震监测，彩票，股票等等，天气监测准确率高了的话，就单农业而言收效会更高，地震监测准确的话，也会避免很多灾祸，假若人人都知道如果每周买100张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要1000年，如果每周买1000张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要100年的话，还会有人抱着“早不中，晚就中”的心理白花钱买彩票吗？这些都和概率有关，所以我们要学好概率指导生活实践。无论大家意识到与否，随机现象贯穿于我们日常生活中每一个角落，例如：体育比赛安排场数需要概率，“抓阄”中包含中概率，生活中许多谚语也包含着概率：例如，三个“臭皮匠”胜过“诸葛亮”，先下手为强后下手遭殃等等，医学方面也会用到概率论，如果对随机问题一窍不通可能不知不觉的会产生很多损失，因此有人把不懂统计的人称作“新世纪的文盲”。

关键词：概率统计；随机事件；数学期望；n重贝努利试验，随机变量的数字特征

一．随机变量的数字特征 1．数学期望

设X是离散型的随机变量，其概率函数为

如果级数i?apii绝对收敛，则定义X的数学期望为

E(X)??aipii；

xf(x)dx 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分???绝对可积，则定义X的数学期望为

??E(X)??????xf(x)dx．

2．随机变量函数的数学期望

设X为离散型随机变量，其概率函数

如果级数

?g(a)piii绝对收敛，则X的函数g(X)的数学期望为

设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数

如果级数

??jig(ai,bj)pij绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为

E[g(X,Y)]???g(ai,bj)pijji；

特别地

E(X)???aipij;E(Y)???bjpijiiji.

g(x)f(x)dx 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分 ???绝对收敛，

??则X的函数g(X)的数学期望为

E[g(X)]??????g(x)f(x)dx．

设(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，如果广义积分

??????????g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为

E[g(x,y)]???????????g(x,y)f(x,y)dxdy；

特别地

E(x)???????????xf(x,y)dxdy,

E(Y)???????????yf(x,y)dxdy.

3．数学期望的性质

3.1 E(c)?c (其中c为常数)；

3.2 E(kX?b)?kE(X)?b (k,b为常数)；

3.3 E(X?Y)?E(X)?E(Y)；

3.4 如果X与相互独立，则E(XY)?E(X)E(Y).

4．方差与标准差

随机变量X的方差定义为

D(X)?E[X?E(X)]2．

计算方差常用下列公式：

D(X)?E(X2)?[E(X)]2’

当X为离散型随机变量，其概率函数为

如果级数

?(a?E(X))ii2pi收敛，则X的方差为

D(X)??(ai?E(X))2pii；

(x?E(X))2f(x)dx?f(x) 当X为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分??收敛，则X的方差为

??D(X)??(x?E(x))2f(x)dx????.

随机变量X的标准差定义为方差D(X)的算术平方根D(X).

5．方差的性质

5.1 D(c)?0 (c是常数)；

2 5.2 D(kX)?kD(X) (k为常数)；

5.3如果X与Y独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y).

6．协方差