大学概率论习题四详解

P(X?Y?k)??P(X?i,Y?k?i)

i?0k??P(X?i)P(Y?k?i)i?0kiin?ik?ik?im?k?i??CnpqCmpqi?0kik?ikm?n?k??CnCmpqi?0km?n?kik?iCC?nmi?0kk

?pqkkm?n?k?Cn?mpq故X?Y~B(n?m,p)

?122?,x?y?120、设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，密度函数为p(x,y)???，

??0,其他求p(yx)。

?22?1?x,x?1解 依题可得X的边缘密度为pX(x)???

?0,x?1?于是，当x?1时，有

p(yx)?p(x,y)1/?1??, y?1?x2

pX(x)(2/?)1?x221?x2即当x?1时，有

1?,y?1?x2? p(yx)=?21?x2

?0,y取其他值?21、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?24y(1?x?y),(x,y)??ABO p(x,y)???0,其他求：（1）p(xy),p(xY?1/2)； （2）p(yx),p(yX?1/2)。

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解 PX(x)??1?x024y(1?x?y)dy?4(1?x)3,0?x?1

PY(y)??1?y024y(1?x?y)dx?12(1?y)2,0?y?1

p(x,y)2(1?x?y)?,0?x?1?y

pY(y)(1?y)2(1) 在0?y?1时，p(xy)? p(xY?1/2)?4?8x,0?x?1/2 (2)在0?x?1时，p(xy)?p(x,y)6y(1?x?y)?,0?y?1?x 3pX(x)(1?x) p(yX?1/2)?24y(1?2y),0?y?1/2 22、已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

?1?e?x?e?y?e??xy,x?0,y?0 F(x,y)??，

?0,其他求X和Y的数学期望与方差。

?x?xF(x)?F(x,??)?1?e,p(x)?e,E(X)?1,D(X)?1 X解

F(y)?F(??,y)?1?e?y,pY(y)?e?y,E(Y)?1,D(Y)?1

23、已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?2e?y?1/x3,x?1,y?1p(x,y)??

0,其他?问X和Y的数学期望与方差是否存在？若存在，请求出。 解 可得：pX(x)? E(X)????12?y?12edy?,x?1 33xx2?1x2dx?2 ?22dx??，故X的方差不存在 E(X)??1x?2?y?1dx?e?y?1,y?1 pY(y)??3e1x E(Y)?2??1ye?y?1dy?2

E(Y)?5,D(Y)?1

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?0,若Y?k24、设随机变量Y~Exp(1)，随机变量Xk???1,其他;分布；（2）求E(X1?X2)。

解（1）

（1）求X1,X2的联合概率k?1,2，求：

11P(X1?0,X2?0)?P(Y?1,Y?2)?P(Y?1)??e?xdx?1?

0eP(X1?0,X2?1)?P(Y?1,Y?2)?0

P(X1?1,X2?0)?P(Y?1,Y?2)??e?xdx?e?1?e?2

12P(X1?1,X2?0)?P(Y?1,Y?2)??e?xdx?e?2

12X1,X2的联合分布：

X2 0 1 X1 0 1 1?1/e 0 1/e?1/e2 1/e2 1e1111)?(1?1)??2 22eeee（2）E(X1?X2)?(1?0)(?25、设随机变量X和Y的联合分布在点(0,1)，(1,0)，(1,1)为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，求随机变量U?X?Y的方差。 解 联合密度为

?2(x,y)?D P(x,y)???0(x,y)?DEX???xp(x,y)dxdy???2xdxdy??dx?2xdy?DD01?x112 31 2EX???xp(x,y)dxdy???2xdxdy??dx?2x2dy?22DD01?x211DX?E(X2)?(EX)2?同理EY?1 1821,DY? 3181101?xEXY???xyp(x,y)dxdy???2xydxdy??dx?2xydy?DD5 12 11

DU?DX?DY?2cov(X,Y)?1 1826、若抛n颗均匀骰子，求n颗骰子出现点数之和的数学期望和方差。

解 n颗骰子出现点数为X1,X2,?,Xn可看作n个相互独立同分布的随机变量，故有 E(X1?X2???Xn)?nE(X1)?7n/2?3.5n D(X1?X2???Xn)?nD(X1)?3.5n/12?2.9167n

27、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，求停车的次数X的期望。

解 Xi???0,在第i站没有人下车?1，在第i站有人下车，i?1,2,?,10

易见，X?X1?X2???X10

因为任一旅客在第i站不下车的概率为9/10，所以

P(Xi?0)?0.920，P(Xi?1)?1?0.920，i?1,2,?,10 由此，E(Xi)?1?0.920，i?1,2,?,10 所以，E(X)?20E(X)?10(1?0.9)?8.784(次) ?i11028、设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且方差σ?0．令随机变量

21nY??Xi，求Cov(X1,Y)。

ni?1解 由于随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布, 于是可得

n1n1 Cov(X1,Y)?Cov(X1,?Xi)?Cov(X1,?Xi)

ni?1ni?11n1 ??Cov(X1,Xi)?Cov(X1,X1)

ni?1n ?11D(X1)?σ2. nn29、 设随机变量X和Y的联合分布列为：

Y X 0 1

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－1 0.07 0.08 0 0.18 0.32 1 0.15 0.20