中考数学备考专题复习相似与位似含例题解析

23、（2016?邵阳）尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c． 求证：a2

+b2

=5c2

该同学仔细分析后，得到如下解题思路：

先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故

，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在

Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证

(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．

(2)利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2

+MH2

的值．

24、（2016?衢州）如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称

的△BC′D．

(1)当∠CBD=15°时，求点C′的坐标． (2)当图1中的直线l经过点A，且k=﹣

时（如图2），求点D由C到O

的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．

(3)当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O

相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

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答案解析部分

一、单选题

【答案】D 【考点】比例线段 【解析】【解答】A、1×4≠2×3，故错误； B、1×6.5≠3×4.5，故错误； C、1.1×4.4≠2.2×3.3，故错误； D、1×4=2×2，故正确． 故选D．

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．依次分析各项即可． 【答案】B 【考点】黄金分割 【解析】【解答】∵AC＞BC， ∴AC是较长的线段，

根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意； AC2

=AB?BC，故B错误，＝， 故C正确，不符合题意；≈0.618，故

D正确，不符合题意． 故选B．

【分析】本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=

原线段的倍，较长的线段=原线段的倍，把一条线段分成两部分，使

其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（

)叫做黄金比．

【答案】B

【考点】分式的化简求值，比例线段 【解析】【解答】由已知，得 2（2y﹣z)=y，即y=z，① 5（2y﹣z)=z+2x，即x=5y﹣3z，② 由①②，得 x=z，③

把①③代入（3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)，得 （3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)=z：z：z=3：5：7． 故选B．

【分析】先根据已知条件，利用z来表示x和y，然后再将其代入所求化简、求值。

【答案】D

【考点】坐标与图形性质，位似变换

【解析】【解答】∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似， ∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，

∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的， ∴位似比为：1：2， ∵点B的坐标为（-4，6)，

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∴点B′的坐标是：（-2，3)或（2，-3)． 故选：D．

【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′

的面积等于矩形OABC面积的 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（-4，6)，即可求得答案． 【答案】A

【考点】比例的性质，一次函数的性质，平方的非负性，二次根式的非负性

【解析】【解答】+n2

+9=6n，

=﹣（n﹣3)2

， ∴m=5，n=3， ∵k=

∴a+b﹣c=ck，a﹣b+c=bk，﹣a+b+c=ak， 相加得：a+b+c=（a+b+c)k， 当a+b+c=0时，k为任何数， 当a+b+c≠0时，k=1， 即：y=kx+8或y=x+8， 所以图象一定经过一二象限． 故选A． 【分析】首先由+n2

+9=6n，根据二次根式和完全平方式确定m n的值，

再由k=

，利用比例的性质确定K的值，根据函数的图象特

点即可判断出选项．

【答案】D 【考点】黄金分割

【解析】【解答】由题意可得△ABC为黄金三角形，根据黄金比即可得到x的值，再代入求值即可. ∵AB=AC=1，∠A=36° ∴△ABC为黄金三角形 ∴BC=

∴==

故选D.

【分析】解题的关键是熟记顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，黄金比为

【答案】B 【考点】黄金分割

【解析】【解答】根据黄金分割的概念知，AC：AB=，

∴AC=

AB．

故本题答案为：B．

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的

比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（)叫做黄金比．

【答案】A

【考点】平行线分线段成比例

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【解析】【解答】∵AD：DB=3：5， ∴BD：AB=5：8， ∵DE∥BC ，

∴CE：AC=BD：AB=5：8， ∵EF∥AB ，

∴CF：CB=CE：AC=5：8． 故选：A．

【分析】先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC ， 根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB ， 然后由EF∥AB ， 根据平行线分线段成比例定理，得CF：CB=CE：AC ， 则可求得答案．注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 【答案】B

【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】设△DEF最短的一边是x ，

∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36， ∴

=

，

解得：x=18． 故选B ．

【分析】设△DEF最短的一边是x ， 由相似三角形的性质得到 =

，即

可求出x ， 得到△DEF最短的边． 【答案】A

【考点】相似三角形的性质

【解析】【解答】从图中可以看出△ABC的三边分别是2， ， ，

要让△ABC的相似三角形最大，就要让DF为网格最大的对角线，即是

，

所以这两，相似三角形的相似比是 :

=

:5

△ABC的面积为2×1÷2=1，

所以△DEF的最大面积是5．故选A ．

【分析】要让△ABC的相似三角形最大，就要让AC为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答． 【答案】D

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴

，

∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴ ， ∴AD=

AB，BD=

AB，

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