有限元计算原理与方法

1. 有限元计算原理与方法

有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体，这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上，计算在外荷载作用下各节点的位移，进而计算各单元的应力和应变。用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。

1.1. 有限元分析的基本理论

有限元单元法的基本过程如下：

1.1.1. 连续体的离散化

首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体。单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面

体单元、五西体单元和六面体 单元等。在Plaxis 3D Foundation 程序中，土体和桩体主要采用包 含6个高斯点的15节点二次楔 形体单元，该单元由水平面为6 节点的三角形单元和竖直面为四 边形8节点组成的，其局部坐标

下的节点和应力点分布见图3.1， 图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布 界面单元采用包含9个高斯点的 8个成对节点四边形单元。

在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方，应适当将单元划分得密集些；

若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束，则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。

最后，还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。

由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高。与位移不同，应力和应变是在Gauss积分点(或应力点)而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。

1.1.2. 单元位移插值函数的选取

在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移 作为未知量，即{?}?[ui,vi,wi,...]，单元体内任一点的位移为{f}?[u,v,w]。 引入位移函数N(x,y,z)表示场变量在单元内的分布形态和变化规律，以便用场变量在节点上的值来描述单元内任一点的场变量。因此在单元内建立的位移模式为：

eTT{f}?[N]{?}e （3-1）

其中：[N]?[IN1,IN2,IN3......IN15]，I为单位矩阵。

（x,y,z）按等参元的特性，局部坐标(?,?,?)到整体坐标的坐标转换也采用

与位移插值类似的表达式。经过坐标变化后子单元与母单元(局部坐标下的规则 单元)之间建立一种映射关系。不管内部单元或边界附近的单元均可选择相同的 位移函数，则为它们建立单元特性矩阵的方法是相同的。因此，对于15节点楔

（x,y,z）形体单元体内各点位移在整体坐标系下一般取：

?u??Ni(?,?,?)ui?i?1?15?v??Ni(?,?,?)vi?i?1?15?w??Ni(?,?,?)wi?i?1?

15 （3?2）

上式中的(ui,vi,wi)为整体坐标系下节点i处的位移值，Ni(?,?,?)为在局部 坐标系下节点相应的形函数。

1.1.3. 单元特性分析

利用几何方程、本构方程、虚功原理或位能变分方程求解单元节点力与节 点位移关系的表达式，即单元刚度矩阵。

根据几何方程可建立单元内的应变矩阵{?}?{?x,?y,?z,?xy,?yz,?zx}：

e{?}?[B]{?} （3-3）

其中[B]?[B1,B2......B15]，

00???Ni/?x?0??N/?y0i???00?Ni/?z?[Bi]???(3?4)

?N/?y?N/?x0i?i??0?Ni/?z?Ni/?y???0?Ni/?x????Ni/?z?

对于小变形线性弹性问题，根据物理方程建立单元内的应力矩阵：

{?}?[D]{?}?[D][B]{?}e （3-5）

其中,[B]为几何矩阵，[D]为弹性矩阵，[S]为应力矩阵，[S]?[D][B]。

e{F}根据虚功原理求出单元中的节点力：

{F}e?[k]{?}e （3-6）

[k]????[B]T[D][B]dxdxdz[k]其中为单元的劲度矩阵，

e

对于整体结构上的任一点 i，建立平衡方程：

?{F}?{R}iie

(3?7)

{Ri}为i节点上的外荷。上式表示

{Ri}与围绕i点的各单元在i点上的节

点力之和相平衡。

1.1.4. 总体特性分析

对每一个位移未知的节点，都可写出3-7式的方程，利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成分析对象的整体有限元平衡方程组：

[K]{?}?{R} （3-8）

Kkij；{?}为整个结构的节点位移矩ij? 其中，[ k]为整体劲度矩阵，

?{R}为整个结构的节点荷载矩阵，是已知的。由式(3-8)求出节点位阵，

{?}由式(3-3)、式(3-5)求出各单元的应变和应力。 移 ,

1.2. 非线性有限元分析

非线性现象是在实际的结构分析中经常遇到的问题。与线性分析相比，非线性分析中荷载与位移之间的关系已不是直线关系，而是曲线关系。土体的非线性分析一般来说采用非线性的分析方法，选用适当的土体本构系，进行有限元计算。

非线性问题一般有材料非线性和几何非线性两种。

几何非线性即存在大变形，其变化的几何形状可能引起结构的非线性